Фокусировка частиц в ускорителе - обеспечение устойчивости поперечного движения ускоряемых
заряж. частиц. Здесь речь идёт не о сведении пучка частиц в малое пятно, как
понимают фокусировку в оптике, а об удержании пучка в определ. поперечных размерах
при транспортировке на большие расстояния.
В процессе ускорения частицы проходят путь от неск. метров (в линейных ускорителях небольшой энергии) до ~ 1013
м (в кольцевых накопителях). Даже малые отклонения нач. импульсов и
координат частиц от расчётных значений могут привести к тому, что в
процессе движения частицы выйдут за пределы рабочей области (напр.,
вакуумной камеры ускорителя) и погибнут при взаимодействии с окружающими
препятствиями. К этому же могут привести действующие на частицы во
время ускорения разл. возмущающие факторы (искажения ведущего и
фокусирующего полей, рассеяние на газе в камере, внутрипучковое
рассеяние и т. д.). Поэтому необходимо, чтобы в процессе
ускорения при отклонении частиц от опорной траектории (см. ниже) на них
действовали возвращающие или, как принято говорить, фокусирующие силы.
Методы фокусировки. Существующая классификация методов
Ф. ч. в у. (Ф.) отражает историю развития ускорителей и основывается на
двух осн. признаках: типе фокусирующего эл--магн. поля и его
распределении вдоль опорной траектории. Иногда в названии метода Ф.
используются и др. признаки: характер изменения поля во времени, тип
фокусирующего устройства и т. д.
Ф. ч. в у. принято разделять на внешнюю, при к-рой фокусирующее поле
создаётся внеш. устройствами, и коллективную, при к-рой для фокусировки
используется коллективное поле, создаваемое частицами ускоряемого пучка
или системы связанных пучков. В большинстве действующих ускорителей
применяется внеш. Ф., к-рая подразделяется на магнитную Ф., производимую
статическим или медленно меняющимся во времени магн. полем,
электрическую Ф., высокочастотную Ф., осуществляемую ВЧ эл--магн. полем,
и пучковую Ф. с помощью потоков (пучков) сторонних частиц.
В зависимости от распределения поля вдоль опорной траектории можно
выделить однороднуюФ., при к-рой на частицы действуют пост, фокусирующие
силы, и знакопеременную Ф., при к-рой чередуются фокусирующие и
дефокусирующие участки. В циклич. ускорителях однородная Ф.
осуществляется с помощью магн. поля с пост, градиентом. При этом бетатронные частоты (число поперечных колебаний
на оборот) всегда оказываются меньше единицы, в связи с чем такую Ф.
называют слабой. При Ф. магн. полем со знакопеременным градиентом
бетатронные частоты могут значительно превышать единицу (до неск.
десятков), такую Ф. называют сильной. Идея сильной Ф. была независимо
высказана в работах H. Кристофилоса (N. Christophilos, 1950) и Э.
Куранта (E. Courant), M. Ливингстона (M. Livingston) и X. Снай-дера (H.
Snyder) в 1953.
Системы фокусировки и фокусирующие элементы. В реальных
установках возможно одноврем. применение разл. методов Ф. Совокупность
фокусирующих устройств наз. системой Ф., а сами эти устройства -
фокусирующими элементами. В совр. фокусирующих системах ускорителей и
накопителей высокой энергии чаще всего применяется Ф. магн. полем со
знакопеременным градиентом, а наиб, распространённым фокусирующим
элементом является электромагнитная квадрупольная линза, у к-рой
индукция магн. поля линейно зависит от поперечных координат. Такие линзы
могут быть как с т. н. тёплой обмоткой (рис. 1), так и со
сверхпроводящей. Ли-
Рис. 1. Схематическое изображение электромагнитной квадру-польной линзы с «тёплой» обмоткой.
нейность магн. поля в «тёплых» линзах обеспечивается формой магн.
полюсов, а в сверхпроводящих линзах -распределением токонесущих
проводников. Иногда применяются линзы с пост, магнитами. К числу
стандартных фокусирующих элементов относятся также секторные магниты с
однородным полем. Если срез такого магнита перпендикулярен центр,
траектории пучка, то магнит фокусирует только по одной (горизонтальной)
степени сво-
боды. Если же срез магнита направлен под углом к траектории, то
возникает дополнит, краевая Ф. К числу типичных фокусирующих элементов
относятся также электростатические квадрупольные линзы, соленоиды,
электронные линзы и т. д.
Алгоритм анализа устойчивости. Несмотря на большое
многообразие фокусирующих систем и элементов, исследование устойчивости
поперечного движения во всех системах с внеш. Ф., как правило,
проводится с помощью единого алгоритма. Сначала рассчитывается опорная
траектория в идеальном ведущем и фокусирующем полях, затем выводятся
ур-ния движения частиц в идеальном поле и исследуется устойчивость
линейных поперечных колебаний частиц около этой траектории. Далее
учитываются эффекты, связанные с линейными и нелинейными возмущениями
ведущего и фокусирующего полей, а также коллективные эффекты, связанные с
собств. эл--магн. полем пучка.
Опорная траектория и натуральная система координат. В
циклич. ускорителях в качестве опорной обычно выбирают траекторию
равновесной частицы, импульс (энергия) к-рой соответствует величине (в
данный момент времени) и распределению магн. поля. При этом магн. поле
предполагается идеальным, т. е. считается, что оно имеет нек-рую
априорно заданную зависимость от координат и времени. Можно показать,
что в синхротронах среди множества возможных траекторий равновесной
частицы существует одна замкнутая траектория, к-рая наз. равновесной
орбитой. В линейных ускорителях опорная траектория обычно совпадает с
осью машины, а в кольцевых ускорителях она близка к ср. линии вакуумной
камеры.
Анализ поперечного движения частиц сгустка, мало отклоняющихся от
опорной траектории (параксиальных частиц), удобно вести в т.н.
натуральной системе координат, в к-рой в качестве одной из координат
используется длина s, отсчитываемая вдоль опорной траектории.
Оси этой системы определяются сопровождающим трёхгранником, т. е.
единичными векторами внеш. нормали 
, касательной 
и бинормали 
, к-рые образуют правую тройку. Отклонение частицы от равновесной траектории в этой системе можно представить в виде
где х и z - поперечные координаты частицы. Заметим,
что в случае плоской орбиты с пост, кривизной натуральная система
координат переходит в цилиндрич. систему. Если опорная траектория, как
это обычно бывает, находится в горизонт, плоскости, то z определяет вертикальное, а х - радиальное отклонения от этой траектории. Для прямолинейной орбиты (линейный ускоритель) натуральная система координат совпадает с обычной декартовой системой.
Устойчивость линейных колебаний. При анализе
устойчивости поперечных колебаний записанные в натуральной системе
координат ур-ния движения прежде всего линеаризуются по переменным
Предположим, что нет искажений ведущего и фокусирующего полей, и
ограничимся наиб, распространённым случаем, когда продольное магн. поле
отсутствует. Тогда ур-ния движения по двум поперечным степеням свободы
разделяются и приводятся к виду
где 
-нек-рые известные функции, p-импульс
частицы. Из-за медленности продольных колебаний (их период, как
правило, много больше периода поперечных колебаний) при исследовании
этих ур-ний обычно можно пренебречь зависимостью p от s и рассматривать импульс как пост, параметр.
Общее решение каждого из написанных линейных однородных ур-ний может быть записано в матричной форме:
и аналогично для
(с заменой 
). Элементы матрицы передачи M(S)для произвольной функции g (s)могут
быть найдены численным интегрированием. Исследование устойчивости
движения существенно упрощается для очень широкого класса периодич.
систем, удовлетворяющих условию g(s + L0) = g(s), где L0
- период системы (к этому классу относятся фокусирующие системы почти
всех кольцевых ускорителей и большей части линейных ускорителей). Для
периодич. систем ур-ние поперечного движения превращается в Хилла уравнение ,устойчивость решения к-рого определяется собств. значениями 
-матрицы передачи периода. При выполнении условия
колебания устойчивы, а собств. значения матрицы
равны
(где 
-нек-рое действит. число, определяющее сдвиг фазы колебаний на периоде структуры). Общее решение ур-ния Хилла выражается ф-лой
где константы а и ос определяются нач. значениями х и х'; 
- т. н. амплитудная функция, зависящая от структуры системы, а фазовая переменная
определяется ур-нием
функция 
периодична (с периодом фокусирующей системы). Изменение 
на длине орбиты, делённое на 
, определяет число бетатронных колебаний на оборот. Траектория x(s)на
каждом периоде колебаний пересекается с косинусоидной траекторией, у
к-рой фаза меняется на ц при прохождении элемента периодичности системы
(рис. 2). Отсюда видно, что в устойчивой периодич. фоку-
Рис. 2. Траектории произвольной частицы и огибающая пучка в системе
фокусировки. В соответствующих точках эта траектория пересекается с
косинусоидой (светлые штриховые линии) с длиной волны 
,
амплитуда и фаза которой зависят от выбора начала отсчёта (светлые и
тёмные кружки). Огибающая траектории частиц пучка представлена жирной
штриховой линией.
сирующей системе частица совершает «квазипериодические» колебания около
положения равновесия. Число этих колебаний на длине оборота в циклич.
ускорителе определяется ф-лой
, где N-число периодов фокусирующей системы на длине кольца.
T. к. подобные колебания для простейшего случая g (s) = const
были впервые исследованы в бетатроне, то поперечные колебания частиц в
циклич. ускорителях часто называют бетатронными, а параметр
-
бета тронной частотой (в англ, литературе - betatron tune). Ma-тем,
анализ показывает, что в системах со знакопеременной Ф. при не слишком
большой силе фокусирующих элементов 
пропорц. квадрату «силы» линз (произведению градиента поля на длину
линзы). T. о., знакопеременная Ф. является Ф. второго порядка, в связи с
чем прихо-
дится применять «сильные» фокусирующие элементы (так в одном из проектов
в сверхпроводящих квадрупольных линзах ускорителя SSC градиент магн.
поля должен был достигать 212 Тл/м).
Анализ поперечного движения может быть значительно упрощён, если удаётся
представить систему Ф. в виде набора «кусочно-постоянных» элементов,
для каждого из к-рых g (s) - const. B этом случае матрица
передачи каждого из элементов может быть найдена в аналитич. форме, а
матрица передачи системы является произведением матриц передачи отд.
элементов.
В общем случае, когда колебания по х и z связаны друг с другом, общее решение линеаризованных ур-ний также может быть записано в матричной форме, но M(S)превращается
в квадратную матрицу четвёртого ранга. Устойчивость движения
по-прежнему определяется корнями харак-теристич. ур-ния для
Эмиттанс пучка и аксептанс фокусирующей системы. Решения ур-ний
поперечного движения определяют эволюцию пучка в фазовом пространстве.
Согласно Лиувилля теореме,
в консервативной системе фазовый объём, занимаемый пучком в фазовом
пространстве координат-импульсов, является интегралом движения. Для
несвязанных поперечных колебаний одномерный фазовый объём определяется
ф-лой 
, где интеграл вычисляется по области, занимаемой пучком. Параметр 
(обычно делённый на p) в теории ускорителей принято называть эмиттансом пучка.
В силу инвариантности фазового объёма эмиттанс e при ускорении пропорционален
, что приводит к адиабатич. затуханию амплитуды бетатронных колебаний пропорционально 
. Поскольку каждый источник частиц характеризуется заданной величиной достижимой фазовой плотности,
то для получения макс, интенсивности желательно пропускать через
фокусирующую систему пучок с наиб, эмиттансом. Этот наиб, эмиттанс наз.
аксептансом фокусирующей системы. Можно показать, что фокусирующая
система пропускает макс, эмиттанс в случае «согласованного» пучка, у
к-рого макс, размер 
всюду пропорционален 
. Величина аксептанса фокусирующей системы e равна мин. (по периоду системы) значению параметра 
, где A (s) - апертура канала.
Возмущения поля. Учёт отклонений поля от идеального приобретает особо
важное значение в системах с большой длиной проходимого пути (в
кольцевых ускорителях и кол-лайдерах) или в системах с очень малыми
поперечными размерами и малым фазовым объёмом пучка (в линейных
электрон-позитронных коллайдерах). Исследование неиде-альностей поля
приводит к появлению малых дополнит, членов в правой части ур-ний
движения. Аналитич. решение этих ур-ний может быть найдено с помощью
теории возмущений. При этом решение линеаризованных ур-ний движения в
идеальном магн. поле используется в качестве первого приближения. Анализ
показывает, что в кольцевых ускорителях неидеальности поля приводят к
раскачке колебаний и возникновению поперечных резонан-сов. Общее условие
резонанса имеет вид
где 
-целые числа. Параметр 
наз. порядком резонанса. Разрушающее действие на пучок, как правило, оказывают резонансы сравнительно низкого порядка 
.
Однако в нек-рых накопит, кольцах зарегистрированы динамич. эффекты,
вызванные резонан-сами и более высоких порядков. Для предупреждения
гибели частиц на резонансах необходимо правильно выбирать значения
бетатронных частот 
и соблюдать их постоянство в процессе ускорения. Кроме того, в состав
фокусирующих систем часто включают секступоль-ные линзы для коррекции
хроматических эффектов (зависимости частот бетатронных колебаний от
отклонения импульса). В кольцевых ускорителях часто устанавливают также
спец. системы коррекции, позволяющие подавлять резонансные гармоники
возмущений.
В линейных фокусирующих
каналах действие возмущений поля не приводит к резонансным явлениям, но может
вызывать значит. рост эмиттанса и потери частиц. Для подавления этих явлений
в таких каналах также применяют линейные и нелинейные корректирующие элементы.
Коллективные эффекты. В ускорителях и накопителях, работающих при больших интенсивностях, значит.
влияние на устойчивость поперечного движения оказывают коллективные эффекты,
связанные с собств. эл--магн. полем пучка.
В кольцевых ускорителях
и накопителях силы, связанные с собств. полем пучка, приводят к "к у л
о н о в с к и м с д в и г а м" бетатронных частот, пропорциональным интенсивности
циркулирующего пучка. В однопучковых системах силы кулоновского расталкивания
частично компенсируются силами эл--динамич. стягивания, поэтому значения кулоновских
сдвигов пропорциональны g-2, где g - релятивистский фактор. Т. о.,
эффекты, связанные с кулоновским сдвигом, играют существенную роль или в адрон-ных
ускорителях с нерелятивистской энергией, или в кол-лайдерах, в к-рых такая компенсация
отсутствует. Допустимые значения кулоновских сдвигов определяются расстоянием
до опасных резонансов бетатронных колебаний. Они, как правило, невелики [для
адронных ускорителей Dv~0,3, для коллайдеров Dv~(0,01-0,05)].
Ввиду малости этих сдвигов (Dv/v<<1) их зависимость
от интенсивности может быть вычислена с помощью теории возмущений.
Важным видом коллективных
эффектов являются также к о г е р е н т н ы е н е у с т о й ч и в о с т и, т.
е. нарастающие во времени периодич. осцилляции функции распределения частиц в
фазовом пространстве или её моментов. Для подавления этих неустойчивостей применяются
спец. меры, включающие оптимизацию окружающих структур (с целью уменьшения наведённых
пучком полей), демпфирование колебаний с помощью систем обратной связи, увеличение
разброса пучка по частотам для стабилизации неустойчивостей (т. н. з а т у х
а н и е м Л а н д а у) и т. д.
В совр. линейных ускорителях
и каналах транспортировки собств. поперечные силы соизмеримы с внешними. В этом
случае анализ устойчивости поперечного движения, строго говоря, требует решения
самосогласованной системы Власова уравнений. Система ур-ний Власова может
быть исследована или с помощью численных методов, или с помощью упрощённых моделей,
наиб. распространённой из к-рых являются самосогласованные ур-ния для о г и
б аю щ е й интенсивного пучка (у р а в н е н и я К а п ч и н с к о г о - В л
а д и м и р с к о г о).
Коллективные методы
фокусировки. Описанные выше приёмы, основанные на поисках самосогласованного
решения системы ур-ний Власова, применяются и для анализа коллективных методов
Ф. частиц. Наиб. интересной из таких устойчивых систем (хотя и не использованной
до сих пор ни в одной из действующих ускорит. установок) является с а м о с
т а б и л и з и р о в а н н ы й п у ч ок Б е н н е т-т а - Б у д к е р а. Этот
пучок включает релятивистские электроны, вращающиеся в однородном магн. поле,
и неподвижные ионы. Ф. ионов обеспечивается совокупным электрич. полем электронов
и ионов, а Ф. электронов - совокупным электрич. и магн. полем электронов и электрич.
полем ионов. Условие устойчивости линейных колебаний в пучке Беннетта - Будкера
имеет вид
где nе-плотность
электронов, пi - плотность ионов.
Общий недостаток коллективных методов Ф.- зависимость частот поперечных колебаний от интенсивности ускоряемого пучка, а также трудность обеспечения устойчивости когерентных колебаний.
|
|
 |
