Гильберта преобразование - интегральное преобразование ,ставящее в соответствие функции f(x)вещественной
переменной х функцию
символ P указывает
на главное значение интеграла .Это интегральное преобразование (типа
свёртки) введено Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1904. Для существования Г. п.
достаточно потребовать, чтобы f(х)была квадратично интегрируемой функцией,
тогда такой же будет g(х).
Наиб. общая формулировка
Г. п. даётся на языке обобщённых функций. Для преобразований Фурье 
, 
от функций
f (х), g (х)Г. п. переходит в оператор умножения:
.
Существует обратное преобразование,
к-рое вместе с прямым
образует пару Г. п.
эквивалентную ф-лам
Г. п. рассматривают также
в иной форме:
предполагается, что f
(t)удовлетворяет условию 
, тогда тем же свойством обладает g(х).
функцию (х-у)-1 наз. ядром Коши, а функцию 
- ядром Гильберта.
Вещественная и мнимая части аналитич. функции, не имеющей особенностей в верх.
полуплоскости и достаточно быстро убывающей на бесконечности, связаны Г. п.
(1); в этом случае оно носит назв. дисперсионного соотношения. Г. п.
применяют при описании волновых процессов в диспергирующих средах в оптике,
эл--динамике, акустике, гидро- и аэродинамике, сейсмологии, а также в квантовой
теории поля.
А. И. Оксак
|
|
 |
