Браве решётки - классификация решёток параллельных переносов, учитывающая
как их точечную, так и параллельно-переносную симметрию. Всего существует 14 типов
Браве решёток, названных по имени О. Браве (A. Bravais), строго обосновавшего эту классификацию. Решёткой
наз. совокупность точек пространства (узлов) с целочисленными координатами относительно
фиксированной системы координат, построенной на трёх базисных векторах а,
b, с - осн. репере решётки. Решётка однозначно определяется осн. репером,
однако осн. репер в данной решётке может быть выбран бесконечным
числом способов и его связь с точечной группой симметрии решётки - её голоэдрией
- не всегда явно видна. Поэтому для представления решёток используют репер Браве
- систему координат, построенную на векторах решётки, совпадающих с наиб. симметричными
в данной голоэдрии направлениями. Выбор таких векторов может быть неоднозначным
и существуют дополнит. правила: сначала выбираются векторы, совпадающие с осями
симметрии, затем - самые короткие векторы, не образующие острых углов между
собой. Параметры реперов Браве (длины а, 6, с, его векторов и углы 
между векторами b и с, а и с, а и b соответственно)
в каждой из 7 сингоний (совокупностей решёток с одинаковой голоэдрией) имеют
ограничения, указанные в табл., в к-рой также приведены обозначения всех
Браве решёток, распределённые по соответств. сингониям.
|
Сингония |
Параметры репера
Браве |
Обозначения Браве
решёток |
|||
|
международные |
физические |
||||
|
Триклинная |
|
|
|
||
|
Моноклинная |
|
|
|
||
|
Ромбическая |
|
|
|
||
|
Ромбоэдрическая |
|
|
|
||
|
Тетрагональная |
|
|
|
||
|
Гексагональная |
|
|
|
||
|
Кубическая |
|
|
|
||
Параллелепипед, построенный
на репере Браве, наз. параллелепипедом Браве. Если узлы решётки находятся только
в вершинах параллелепипеда Браве, то он и соответствующая ему решётка наз. примитивными
(Р-решётки). В нек-рых решётках в параллелепипед Браве попадают дополнит.
узлы. Такие параллелепипеды (и решётки) возможны 4 сортов: 1) базоцентрированные
С или бокоцентрированные В (А) - дополнит. узлы в центрах граней,
построенных на векторах а и b, а и с, b и с
соответственно и на параллельных им гранях; 2) дважды центрированные гексагональные
(ромбоэдрические) R - дополнит. узлы на главной диагонали параллелепипеда
Браве в точках с координатами 2/3, 1/3,
1/3 и 1/3, 2/3,
2/3 ; 3) гранецентрированные F - дополнит. узлы в центрах всех граней параллелепипеда Браве; 4) объёмноцентрированные
I - дополнит. узел в центре параллелепипеда Браве.
Две решётки относятся к
одному и тому же типу Браве, если их параллелепипеды Браве одинаковы и имеют
одинаковую центрировку. На рис. представлены все типы Браве решёток, причём в одной
строке расположены решётки с одинаковыми параллелепипедами Браве, а в одном
столбце - решётки с одинаковым типом центри-ровок. Около каждого параллелепипеда
Браве указан символ соответствующей группы Браве - полной совокупности преобразований
симметрии соответствующей решётки. Имеется 14 абстрактно-неизоморфных таких
групп (14 из 73 симморфных фёдоровских групп). Группы Браве - основа теоретико-группового
определения типов Браве решёток: две решётки относятся к одному и тому же типу Браве,
если их полные группы преобразований симметрии изоморфны. В скобках на рис.
приведены стандартные символы соответствующих типов Браве решёток. В двумерном случае
(в случае плоскости) имеется 5 типов Браве решёток: р2, р2тт, с2тт, p4mm, р6тm.
Название Браве решёток данного
типа складывается из названия голоэдрии и способа центрировки (напр., кубическая
объёмноцентрированная решётка). Во всех решётках, исключая триклинные и моноклинные,
выше приведённые правила ограничения параметров репера Браве обеспечивают его
однозначность. Реперы Браве для ромбоэдрической и гексагональной голоэдрий совпадают,
но для ромбоэдрической голоэдрии возможно собственно ромбоэдрич. описание: a=b=с,
Во всякой моноклинной
центрированной решётке параллелепипед Браве может быть выбран как объёмно-центрированным,
так и базо- или бокоцентрированным. Если все преобразования симметрии голоэдрии
записать в виде матриц в осн. репере решётки, то получим конечную группу целочисленных
унимодулярных матриц - арифметич. голоэдрию. Две решётки относятся к одному
и тому же типу Браве, если их арифметич. голоэдрии целочисленно эквивалентны.
Браве решётки широко используются в физике твёрдого тела, структурной кристаллографии. Точки, совпадающие
с центрами атомов в идеальном кристалле, представляют собой одну (в простейшем
случае) или несколько метрически одинаковых и параллельно расположенных, вставленных
друг в друга решёток. Для определения типов Браве решёток на ЭВМ наиболее приемлемым
оказался алгоритм Делоне, основанный на более глубокой классификации решёток
по 24 сортам.
Б. К. Вайнштейн, P, В. Галиулин
|
|
 |
