Gibt es einen Zusammenhang

zwischen dem Alter kosmischer Körper

und Systeme und ihrem

spezifischen Volumen?

Von Theodor Landscheidt, Bremen,

mit einer Abbildung im Text

und einer Tabelle.

Manuskript eingereicht am 27. XII. 1967

S u m m a r y :

The age of the Earth, the planets, the sun, the globular clusters, the galaxies, and the universe can be represented as a logarithmic function of the specific volume of these objects. This connexion seems to indicate that all cosmic bodies expand out of a compact State of development whose point of departure is the specific volume of the proton. The proportional constant of the function can be described as a combi-nation of the three fundamental pure numbers of theoretical physics if calculations are based on natural microphysical reference quantities.

Zusammenfassung:

Das Alter der Erde, der Planeten, der Sonne, der Sternhaufen, der Galaxien und des Universums läßt sich einheitlich als logarithmische Funktion des spezifischen Volumens dieser Objekte darstellen. Hierbei ergeben sich Indizien für die expansive Entwicklung aller kosmischen Objekte aus kompakten Frühzuständen. Ausgangspunkt für diese Entwicklung ist das spezifische Volumen des Protons. Wird mit natürlichen, mikrophysikalischen Bezugsgrößen gerechnet, so kann die Proportionalitätskonstante des funktionalen Zusammenhangs als Kombination der drei fundamentalen reinen Zahlen der theoretischen Physik beschrieben werden.

Inhalt: .

I. Einleitung

II. Ein empirisch ermittelter Zusammenhang zwischen dem Alter und dem

spezifischen Volumen kosmischer Objekte

III. Diskussion des funktionalen Zusammenhangs

1. Das Alter der Erde, der Sonne und der Planeten
2. Das Alter der Hauptreihensterne und Riesen
3. Die Problematik der heißen Sterne
4. Die Kugelhaufen und Galaxien
5. Das Alter des Universums
6. Der Frühzustand des Universums
7. Gab es einen kompakten Frühzustand der Körper des Sonnensystems und anderer kosmischer Objekte?
8. Das Alter der Weißen Zwerge
9. Allgemeine Erwägungen

IV. Mögliche Beziehungen zwischen dem Alter kosmischer Objekte und mikrophysikalischen Größen

1. Ableitung eines Systems natürlicher Bezugsgrößen

1. Die Bezugsmasse m₀
2. Die Elementarlänge l₀ als Bezugslänge
3. Die Elementarzeit t₀ als Bezugszeit
4. Die Bezugsgröße für das spezifische Volumen
5. Allgemeine Erörterungen

2. Eine Größengleichung mit mikrophysikalischen Bezugsgrößen
3. Möglicher Zusammenhang zwischen der Proportionalitätskonstanten t und den fundamentalen reinen Zahlen der theoretischen Physik

V. Schriften

I. Einleitung

Die Linien der Spektren ferner Galaxien zeigen eine Rotverschiebung, die proportional mit der Entfernung r anwächst. Da gute Gründe dafür sprechen, daß auch im Bereich weit entfernter Galaxien dieselben Naturgesetze gelten wie in der Nähe der Erde, wird allgemein die Rotverschiebung als Doppler-Effekt gedeutet. Für die Fluchtgeschwindigkeit v der Galaxien gilt die Beziehung

H ist eine nach E. Hubble benannte Konstante. Die Relation (1) kann, wenn eine lineare Entwicklung vorausgesetzt wird, derart gedeutet werden, daß vor einer Zeit T„ eine Expansion des Universums aus einem relativ kleinen Volumen begann. Aus der jeweiligen Entfernung und Geschwindigkeit weiter entfernter Galaxien läßt sich die Zeit

bestimmen, die für alle Galaxien gleich ist. Das sogenannte Alter des Universums r_u entspricht also der reziproken HuBBLE-Konstanten l/H.

Hubble selbst gab 1929 für H den Wert 530 km sec^-1Mpc^-1 an. Hieraus ergibt sich ein Weltalter T_u = 1,8- 10⁹ Jahre, das im Vergleich zum Alter der Erde und des Sonnensystems von mehr als 4•10⁹ Jahren viel zu kurz ist. 1952 revidierte W. Baade die kosmische Entfernungsskala, indem er die Cepheiden der Populationen I und II unterschied. Nach ersten Schätzungen wurden hierdurch viele der mit dem alten Maßstab bestimmten extragalaktischen Entfernungen mehr als verdoppelt. Aber noch 1954 wurde allgemein angenommen, daß das Alter des Universums mit 5•10⁹ Jahren nicht wesentlich über das Alter der Erde hinausgehe. Erst allmählich setzte sich die Erkenntnis durch, daß T_u erheblich größer ist. Heute wird H mit 75 km sec^Mpc"¹ angegeben. Dies entspricht einem Weltalter T_u = 13•10⁹ Jahre (Sandage, 1958: 513; Unsöld, 1967: 307; Bondi, 1961: 48).

Mit der Deutung der Fluchtbewegung der Galaxien als Expansion des Universums verbindet sich die Vorstellung, daß sich die Dichte g_n der im Weltvolumen V_u enthaltenen Materie der Masse m_n in funktionaler Abhängigkeit vom Zeitablauf t verringere. So definiert G. Gamow (1959: 154)

p_a ist hierbei eine Konstante, für die nach Gamow der Wert 1,2•10^-3 g cm^-3 einzusetzen ist.

Die Verringerung der Dichte q_u wird aber gemeinhin so verstanden, daß sich die expandierenden Galaxien ständig voneinander entfernen, ohne dabei den bei ihrer Entstehung festgelegten Durchmesser wesentlich zu vergrößern. Diese Vorstellung gilt erst recht für die Einzelsterne, Sternassoziationen und Kugelhaufen, aus denen sich die Galaxien zusammensetzen. Nur P. A. M. Dirac (1938: 199) und P. Jordan (1955: 244) vertreten den abweichenden Standpunkt, daß auch die Materieassoziationen als solche fortlaufend ihr Volumen vergrößern. Sie sehen dies jedoch nicht als Folge der Expansion des Universums an, sondern gehen von dem Gedanken aus, daß die Newton-sche Gravitationskonstante i und die ihr entsprechende kosmologische Konstante

sich proportional t^-1 verändern. Hieraus folgt letzten Endes auch die Expansion des Universums. Dabei geht P. A. M. Dirac davon aus, daß die Masse m_u der im Universum enthaltenen Materie konstant bleibe, während P. Jordan (1955: 262) annimmt, daß m„ durch einen relativistischen Prozeß, der zur Geburt neuer Sterne führt, ständig zunehme.

Wird entsprechend der konservativen Methodik vorausgesetzt, daß während der Expansion des Universums keine neue Materie entstanden ist, so schließt dies nicht zwangsläufig aus, daß kosmische Einzelkörper ähnlich wie das gesamte Universum in Abhängigkeit vom Zeitablauf expandieren. Selbst wenn / als echte Konstante behandelt wird, bleibt diese Möglichkeit offen. In der relativistischen Betrachtungsweise ist das Krümmungsmaß des Universums eine Funktion der Zeit-, das Gesamtvolumen muß mit der Zeit anwachsen (v. Weizsäcker, 1964: 161), wobei sich bei konstanter Masse m_u die Dichte o_u ständig verringert. In entsprechender Weise kann man sich vorstellen, daß die Dichte kosmischer Einzelkörper unter dem Einfluß des Zeitablaufs ständig abnimmt, auch wenn die Dimensionen dieser Körper nicht im relativistischen Größenbereich liegen. Diese Annahme liegt nicht ferner als die Hypothese, daß die Himmelskörper expandierten, weil sich der Wert der Gravitationskonstanten mit der fortlaufenden Zeit verringere.

Erwiese sich dieser Gedanke als richtig, so erfolgte die ständige Vergrößerung des Volumens der Einzelkörper unmittelbar unter dem „Druck" der einseitig in Richtung der Zukunft ablaufenden Zeit. Diese Annahme ließe sich substantiieren, wenn es gelänge, einen funktionalen Zusammenhang zwischen Zeitablauf und Massendichte oder dem entsprechenden spezifischen Volumen darzustellen, aus dem sich das kosmologische Alter der Erde, der Sonne, der Milchstraße und anderer Körper und Systeme in gleicher Weise ableiten ließe wie das Alter des Universums.

II. Ein empirisch ermittelter Zusammenhang zwischen dem Alter und dem spezifischen Volumen kosmischer Objekte

Werden die verhältnismäßig zuverlässigen Werte für das Alter der Erde, der Sonne, der Kugelhaufen, der Milchstraße, der Großen Magellanschen Wolke und des Universums als logarithmische Funktion ihres spezifischen Volumens v_m dargestellt, so liegen sie in einer halblogarithmischen Graphik auf einer Geraden, wie aus der Abbildung zu ersehen ist.

Abbildung:

Die halblogarithmische Graphik stellt das Alter kosmischer Körper und Systeme als Funktion ihres spezifischen Volumens dar.

Die Punkte für die Erde, die Sonne und das Universum bezeichnen verhältnismäßig zuverlässige, von verschiedenen Autoren übereinstimmend angeführte Wertepaare und liegen auf einer Geraden.

Die Punkte für die Milchstraße, die Große Magellansche Wolke und die Kugelsternhaufen sind entsprechend den recht genau bekannten Werten für das spezifische Volumen auf die Gerade gelegt worden. Die hieraus resultierenden Werte für das Alter fallen in den Bereich neuerer Schätzungen.

Die Achse der Abszissen wird von der Geraden bei dem Wert für das spezifische Volumen des Protons geschnitten.

Dabei fällt auf, daß die Gerade die v_m Achse dort schneidet, wo das spezifische Volumen des Protons einzutragen wäre. Dient mit Rücksicht hierauf das spezifische Volumen des Protons v_m„ als Ausgangspunkt, so wird das Alter T der fraglichen kosmischen Objekte in siderischen Jahren a durch die folgende zugeschnittene Größengleichung erfaßt:

Die Massendichten g und o₀, die reziproken Werte von v_m und v_m0, sind ebenfalls angeführt, weil in der Literatur häufig die Daten für die Dichte angegeben werden. Für das spezifische Volumen des Protons ergibt sich nach der Ableitung in Abschnitt IV 1 d der Wert

v_mo = 5,4575- 10^-15 cm³g^-1 .

Für praktische Rechnungen mit den überwiegend verwendeten Einheiten cm³ g^-1 für das spezifische Volumen und g cm^-3 für die Massendichte nimmt (5) die folgende Form an:

lg bezeichnet hierbei den dekadischen Logarithmus.

Für die Sonne wird nach den neuesten Erkenntnissen ein Alter von 4,7•10⁹ Jahren angegeben (v. Hoerner, Schaifers, 1964: 205). Die Dichte der Sonne beträgt 1,409 gcm^-3 (Allen, 1964: 108). Mit dem entsprechenden Wert für das spezifische Volumen ergibt sich aus der Beziehung (5) T_Q = 4,7•10⁹ Jahre. Auch dieser Wert liegt auf der Geraden der Abbildung.

Mit den ziemlich genau bekannten Massendichten der Planeten (Allen, 1964: 161) ergeben sich die in der Tabelle angegebenen Datierungen:

Tabelle:

Das aus dem spezifischen Volumen mit Gleichung (6) bestimmte Alter der Planeten.

Pluto ist nicht aufgeführt, da sein Volumen und seine Masse bisher nicht sicher bekannt sind.

Die Grenzen der Altersskala liegen im Rahmen der von C. F. v. Weizsäcker (1942: 319) entwickelten Wirbeltheorie. Bemerkenswert ist die Übereinstimmung mit der von G. P. Kuipeh (1955) formulierten Theorie über die Entstehung des Sonnensystems, die allgemein als gut fundiert anerkannt ist. Kuiper sieht Jupiter eher als „little star" denn als „large planet" an, da er 2V2mal stärker Wärme abstrahlt, als er von der Sonne empfängt. Er stuft das Sonnensystem als degeneriertes Doppelsternsystem ein, in dem das zweite Massenzentrum sich nicht zu einem einzigen Stern verdichten konnte, sondern in Protoplaneten zerfiel, aus denen sich die Planeten bildeten. Denkt man sich die Masse aller Planeten in einem Protokörper vereinigt, so würde dieser einen Abstand von rund 7 Astronomischen Einheiten (AE) von der Sonne haben. Er liefe also ungefähr in der Mitte zwischen Jupiter und Saturn. Kuiper geht davon aus, daß sich die in diesem Bereich liegenden Planeten bereits bildeten, als die Zentralsonne noch kalt war, also ihre Entwicklung noch nicht abgeschlossen hatte. Das Alter der Planeten im Bereich des zweiten Massenzentrums fügt sich in diese Vorstellung ein. Auch das etwas geringere Alter der Erde und der erdähnlichen Planeten Merkur, Venus und Mars, die sich im Gegensatz zu den jupiterähnlichen Planeten mit ihrem großen Anteil an Wasserstoff, Ammoniak und Methan aus Gestein und Metallen zusammensetzen, findet in den modernen kosmogonischen Theorien seine Erklärung. F. Hoyle (1963), der Argumente von H. C. Urey (1952) aufgreift, weist darauf hin, daß sich die inneren Planeten erst bilden konnten, als die Zentralsonne bereits mit der Umwandlung von Wasserstoff in Helium begonnen hatte und ihre Leuchtkraft groß genug wurde, um den ionisierten Gasnebel in ihrer Umgebung zu zerstreuen. Erst als die Gasmassen aus dem Bereich der inneren Planeten entwichen waren, konnten nach den Darlegungen von Hoyle (1963) chemische Prozesse anlaufen, welche die Zusammenballung von erdähnlichen Planeten begünstigten.

Auch die Datierungen der Satelliten fügen sich in ähnlicher Weise in die Grenzen ein, die bei der Untersuchung der Planetenalter abgesteckt wurden.

Die Sonne liegt als Stern mit durchschnittlichen Zustandsgrößen mit dem Gros der übrigen Sterne auf der Hauptreihe des Hertzsprung-Russell-Diagramms. Das mit der Beziehung (5) bestimmte Alter dieser Sterne hält sich mit Ausnahme der heißen Sterne der Spektralklassen O, B und A an die Grenze des Maximalalters, das von Sternen auf der Hauptreihe erreicht werden kann. Die T-Rechnungen für Unterriesen, Riesen und Uberriesen, die sich bereits von der Hauptreihe abgehoben haben, stimmen mit der heute allgemein anerkannten Vorstellung überein, daß es sich bei den Riesen um ein älteres Stadium der Sternentwicklung handelt. Für einen Riesen der Spektralklasse gG5 mit 2,5facher Sonnenmasse und 2,5•10^-3 facher Sonnendichte ergibt sich z. B. T_r; = 5,57•10⁹ Jahre. Dieses Alter liegt nach Gamow (1967: 179) im richtigen Bereich.

Die Untersuchung der Sterne der Spektralklassen O, B und A scheint zu einer Diskrepanz zu führen. Für Sirius mit der Spektralklasse AI wird z. B. ein Alter von weniger als 3•10⁸ Jahren angegeben (v. Hoerner, Schaifers, 1964: 355). Mit der Beziehung (5) ergibt sich abweichend hiervon T_s{ = 4,9•10⁹ Jahre. Dieser heiße Stern müßte also schon etwas älter sein als die Sonne. Dies wäre energetisch unmöglich, wenn Sirius seit seiner Entstehung mit der gleichen Leuchtkraft Energie abgestrahlt hätte, wie dies zur Zeit beobachtet wird.

P. Jordan (1954: 250) weist jedoch darauf hin, daß die verhältnismäßig seltenen Sterne der ersten Spektralklassen erheblich älter sein können, als dies bisher angenommen wurde. Er sieht es als naturgemäße Deutung der Verhältnisse an, daß Sterne der Population II, die in Wolken von Dunkelmaterie geraten, dort Materie einsammeln und sich hierdurch in helle Sterne der Population I verwandeln. Dabei beruft sich P. Jordan auf O. Struve (1950: 105), dessen detaillierte empirische Unterlagen die Vorstellung stützen, daß sich späte Hauptreihensterne durch den Aufenthalt in Dunkelwolken zu hellen Sternen der oberen Skeptralklassen wandeln. Gegen die klassische Deutung spricht auch, daß C. F. v. Weizsäcker (1953: 513) nachgewiesen hat, daß die dunklen Gasmassen der Milchstraße, in denen junge heiße Sterne entstehen sollen, eine Temperatur haben, welche die Kondensation von Sternen mit etwa 10 Sonnenmassen ausschließt.

Hiernach sind die T-Daten heißer Sterne, die sich aus der Beziehung (5) ergeben, mit dem fortgeschrittenen astronomischen Erkenntnisstand nicht unvereinbar. Es ist aber denkbar, daß die Beziehung (5) nur den normalen Entwicklungsgang quantitativ richtig erfaßt, während Entwicklungsanomalien wie der erörterte Durchgang durch Dunkelwolken zu Ungenauigkeiten in der T-Wertung führen.

Das Sternsystem der Milchstraße ist in eine angenähert runde Wolke sehr geringer Dichte eingebettet, die Halo genannt wird. Zum Halo gehören vor allem die Kugelsternhaufen, die sich auf elliptischen Bahnen um das Zentrum der Galaxis bewegen. Die Kugelsternhaufen sind extrem alt; sie stammen aus der Frühzeit der Entwicklung der Milchstraße. Nach den neuesten Schätzungen liegt ihr Alter über 10•10⁹ Jahren. Die durchschnittliche Dichte der Kugelhaufen beträgt pk„ = 0,6- 10^-21gcm-³ (v. Hoerner, Schaifers, 1964: 329). Mit der Beziehung (5) ergibt sich T_k„ = 11,8•10⁹ Jahre. Dieser Wert liegt im richtigen Bereich, wenn sich die Milchstraße als einige hundert Millionen Jahre älter erweist als die Kugelhaufen (v. Hoerner, Schaifers, 1964: 412). Dies ist der Fall. Mit der Dichte g_mi = 7- 10^-24gcm^-3 (Allen, 1964: 267) ergibt sich für die Milchstraße T_mi = 12,5•10⁹ Jahre.

Für die Große Magellansche Wolke, welche die Milchstraße begleitet, und den Andromedanebel als Nachbarsystem liegen verhältnismäßig genaue Angaben über die Massendichte vor. Hiermit ergeben sich folgende Datierungen:

Große Magellansche Wolke: g_gw = 7,26•10 ^-24 g cm ^-3 (SuW, 1966: Astron.
T_gw = 12,5•10⁹ Jahre Kartei, 1066).

Dabei fällt auf, daß sich für die Große Magellansche Wolke, die in einer engen Beziehung zur Milchstraße steht, genau das gleiche Alter ergibt wie für diese.

In der Einleitung ist bereits erörtert worden, daß sich bei der Auswertung neuer Beobachtungen ein Weltalter von 13•10⁹ Jahren ergibt. Die Angaben über die durchschnittliche Dichte des Universums, die in die T-Rechnung eingeht, variieren bei den verschiedenen Autoren. Im Anschluß an H. Shap-ley (1933) wird gelegentlich mit o_u = 10^-30gcm^-3 gerechnet. H. Bondi (1961: 45) hat jedoch darauf hingewiesen, daß die Arbeit von Shapley lediglich die leuchtende Materie erfaßt. Wird jedoch die nichtleuchtende Materie einbezogen, so ist nach Bondi die Dichte der Größenordnung g_a = 10 ^-25 g cm ^-3 durchaus mit dem vorliegenden Beobachtungsmaterial vereinbar. Die Beziehung (5) ergibt mit g_u = 1,78•10^-25 g cm ^-3 ein Weltalter T_u = 13•10⁹ Jahre. Die durchschnittliche Massendichte, die zu diesem Alter führt, liegt also im Bereich der Schätzungen, welche die nichtleuchtende Materie berücksichtigen. Das Ergebnis T_u = 13•10⁹ Jahre steht in der zu erwartenden Relation zum Alter der Galaxien und stimmt mit dem eingangs erörterten Weltalter überein, dessen Zeitwert auf der Geraden der Abbildung liegt.

Der Terminus „Weltalter" zwingt nicht zu der Vorstellung, daß das Universum vor der Zeit T_u noch nicht existiert habe. Nach der vorsichtigen Formulierung v. Weizsäckers (1964: 160) ist nur die Annahme gerechtfertigt, daß eine „gemeinsame Zeitskala der Entwicklung der meisten kosmischen Objekte besteht, die durch eine Zeitkonstante gekennzeichnet ist, . . . die zwischen 10 und 15 Milliarden Jahren liegt". Es bleibt offen, in welchem Zustand sich das Universum vorher befand. Abgesehen von der Steady-State-Theorie, die durch die Entdeckung der Blauen Galaxien in ein kritisches Stadium getreten ist, wird aber im Anschluß an die von G. Lemaitre (1946) aufgestellte Hypothese vom kosmischen „Uratom" überwiegend die Anschauung vertreten, daß die gesamte im Universum enthaltene Materie zu Beginn der Expansion in einem viel kleineren Raumgebiet zusammengedrängt war. Es wird erwogen, daß sich die stark komprimierte Materie des „Urkerns" im Zustand einer „Kernflüssigkeit" oder eines „Kerngases" befunden habe (Gamow, 1959: 63, 66).

Wird in der Beziehung (5) T = 0 gesetzt, so ergibt sich entsprechend dem Ansatz, der vom spezifischen Volumen des Protons ausgeht, daß in diesem Frühzustand die Masse des Universums auf einen so kleinen Raum zusammengedrängt war, daß auf ein Protonenvolumen jeweils gerade eine Protonenmasse entfiel. Wird aus noch zu erörternden Gründen die Masse des Universums 10⁷⁸ Protonenmassen gleichgesetzt, so ergibt sich als Radius des hypothetischen „Urkerns"

Die Entfernung der Erde von der Sonne wird mit 1,496 • 10¹³ cm angegeben. Der „Urkern" war demnach kleiner als eine Kugel mit dem Umfang der Erdbahn.

In entsprechender Weise wie bei dem Universum führt die hypothetische Rückrechnung bei der Erde, der Sonne, den Planeten, den Galaxien und allen anderen kosmischen Objekten zu kompakten Frühzuständen, die sich lediglich durch die verschieden großen Massen unterscheiden, die an der Entwicklung beteiligt sind.

Dieses Ergebnis ist mit der klassischen Lehrmeinung unvereinbar, daß alle kosmischen Objekte durch Kondensation aus diffusen Massen entstanden seien, sich also gerade in umgekehrter Richtung entwickelten. Diese Anschauung wird jedoch angefochten. P. Jordan (1955: 247) führt hierzu aus: „Fast alle Astronomen sind heute noch überzeugt, daß die Sterne entstanden seien durch Zusammenballung von Gas- und Staubmassen. Keinerlei empirische Tatsache stützt diese Überzeugung, sofern nicht den Tatsachen eine von vornherein durch diese Auffassung bedingte unkritische Ausdeutung gegeben wird. Die fragliche Überzeugung ist aber auch durch das Gewicht der ihr widersprechenden Befunde bislang kaum erschüttert worden, da fast allgemein gar nicht das Bedürfnis empfunden wird, sie einer empirischen Prüfung zu unterziehen: Vielmehr sieht man diese Überzeugung, nachdem sie im historischen Lauf der Gedankenentwicklung durch den Philosophen des Apriori begründet wurde, allgemein als eine Art apriorischer Wahrheit an, von der gar nicht gefragt werden darf, ob die Beobachtungsbefunde sie bestätigen oder verneinen — die Erfahrung hat lediglich zu klären, wie die Sterne aus Gasmassen entstehen, nachdem a priori sicher ist, daß sie aus Gasmassen entstehen."

Auch V. A. Ambarzumjan (1953) hat sich von der traditionellen Lehrmeinung gelöst. Ambarzumjan, der durch seine Entdeckung der Sternassoziationen nach dem Urteil von P. Jordan eine der wichtigsten Unterlagen für die Erforschung der Sternentstehung geliefert hat, geht von der Hypothese aus, daß die diffusen Gasmassen den Sternen nicht historisch genetisch vorangehen, sondern zusammen mit ihnen entstehen, und zwar aus einem kompakten „Protozustand" heraus. In entsprechender Weise ist nach seiner Vorstellung die Milchstraße nicht durch Kondensation intergalaktischer Materie „von außen", sondern durch starke Expansion oder Explosion aus einer kondensierten Urmilchstraße „von innen" heraus entstanden (Unsöld, 1967: 205). Dies gilt auch für andere Galaxien, die sich durchweg als kompakte Protogalaxien entwickelt haben sollen. A. Unsöld (1967: 299) hat eine Reihe von Argumenten vorgetragen, welche diese Auffassung stützen. Auch die neuerdings beobachteten „Blauen Galaxien", die außerordentlich kompakt sind und wegen ihrer enormen Rotverschiebung sehr weit entfernt sein müssen, sprechen für die Hypothese Ambarzumjans, da sie wahrscheinlich einen Frühzustand der Galaxien erkennen lassen.

Neuere Untersuchungen indizieren, daß sich auch die Erde ständig ausdehnt. P. Jordan (1955: 222; 1964: 15; 1965: 971) hat die Hypothese der Expansion der Erde eingehend begründet. Seine Argumentation wird von Fisher, Haber (1965), Egyed, Kirillow und anderen unterstützt. Ozeanogra-phische Untersuchungen, die in jüngster Zeit durchgeführt wurden, weisen eindeutig auf eine Expansion der Erde hin, die in dem weltweiten System der Tiefseegräben sichtbar wird. Auch die Teilung der Erdoberfläche in zwei verschiedene Höhenstufen, nämlich die Ozeanbecken und die Kontinentalschollen, ist ein Expansionsindiz, über das Ausmaß und die Geschwindigkeit des Expansionsprozesses besteht jedoch noch keine Einigkeit.

Die Rechnung mit der Beziehung (5) führt zu einer größeren Expansionsgeschwindigkeit, als dies nach der von P. Jordan, H. Haber und anderen vertretenen Hypothese der variablen Gravitationskonstanten zu erwarten wäre. Das Volumen verdoppelt sich nach (5) jeweils in 0,1•10⁹ Jahren, während nach H. Haber (1965) die Expansion des Volumens ungefähr ein Viertel so schnell verläuft. Das größere Expansionsmaß ist aber, soweit dies bei einer ersten Prüfung beurteilt werden kann, mit dem vorliegenden empirischen Material nicht unvereinbar. Dabei ist zu berücksichtigen, daß eine kontinuierliche Expansion nicht zwangsläufig bereits vorhandene materielle Strukturen zerstört, sondern im wesentlichen lediglich unter Aufrechterhaltung der Proportionen den Maßstab ändert. In einer Welt, in der alle kosmischen Körper und Systeme in gleicher Weise expandieren, ist es schwierig, diese Änderung des Maßstabs durch Vergleiche zutreffend zu bestimmen.

Gegen die Hypothese der variablen Gravitationskonstanten hat E. Teller (1948) eingewendet, daß aus der Abhängigkeit der Leuchtkraft der Sonne von der Gravitationskonstanten folge, daß im Kambrium die Ozeane infolge der stärkeren Sonneneinstrahlung hätten kochen müssen, was mit dem damals nachweislich existenten Leben in den Meeren unvereinbar ist. Die fragliche Proportionalität wird nach Teller durch die folgende Relation wiedergegeben:

L_Q steht für die Leuchtkraft, ffl_a für die Masse und R_e für den Radius der Sonne, x ist die unter (4) angeführte kosmologische Gravitationskonstante. Es ist zu sehen, daß die Leuchtkraft mit mehr als der 7. Potenz von der Gravitationskonstanten abhängt. D. ter Haar (1950) hat demgegenüber hervorgehoben, daß die höhere Sonneneinstrahlung nicht unbedingt zu einer Temperaturerhöhung auf der Erdoberfläche geführt haben muß, da auch möglich ist, daß sich — ähnlich wie noch heute bei der Venus — eine dichte Wolkendecke bildete, welche die Strahlung abschirmte. Aber unabhängig hiervon ist aus der Relation (8) abzulesen, daß das Argument von Teller für die Beziehung (5) nicht in gleicher Weise gilt; denn der Radius der Sonne, der sich allein nach der Beziehung (5) ändert, beeinflußt die Leuchtkraft nur mit der Quadratwurzel seines jeweiligen Wertes.

Das Hertzsprung-Russell-Diagramm, das die Abhängigkeit der Leuchtkraft von der Temperatur der Sterne darstellt, ist wechselnd gedeutet worden. N. Lockyer sah die Roten Riesen, die über der Hauptreihe liegen, ausschließlich als junge Sterne an, während sie heute allgemein als späte Entwicklungsform der Sterne eingeordnet werden. Auch die Ergebnisse mit der Beziehung (5) stufen sie als ältere Sterne ein.

Die Weißen Zwerge stellen nach der herrschenden Lehrmeinung eine noch ältere Entwicklungsform dar. Nach dieser Vorstellung verwandelt sich ein Hauptreihenstern, der 12 °/o seines Wasserstoffvorrats in Helium umgewandelt hat, in einen Roten Riesen und fällt zu einem Weißen Zwerg zusammen, wenn auch der restliche Wasserstoff verbraucht ist. Die Weißen Zwerge sind kompakte Sterne. Der Begleiter des Sirius hat z. B. bei angenäherter Sonnenmasse einen Durchmesser von 38 500 km. Der Durchmesser von Wolf 1346 beträgt nur ungefähr das Doppelte des Erddurchmessers (Struve, 1963: 318), obwohl dieser Stern ungefähr die Masse der Sonne hat. Möglicherweise gibt es noch erheblich kompaktere Weiße Zwerge, die sich bisher der Beobachtung entziehen. G. P. Kuiper hat sogar einen Stern beobachtet, der mit einem Durchmesser von nur 6 400 km, also bei angenäherter Marsgröße, ungefähr die Masse der Sonne besitzt.

Nach den bisherigen Darlegungen ist es nicht ausgeschlossen, daß die große Dichte der Weißen Zwerge indiziert, daß sie noch verhältnismäßig junge Sterne sind. Die durchschnittliche Dichte des Typs 1 der Weißen Zwerge beträgt g_wz = 3,2 • 10⁵ g cm"³ (SuW, 1965: Astron. Kartei, 165). Mit Beziehung (5) ergibt sich hierfür das Alter T,_TZ = 2,91 • 10⁹ Jahre. In diesem Zusammenhang ist von Bedeutung, daß es bisher nicht gelungen ist, die Zustandsgrößen der Weißen Zwerge durch Modellrechnungen mit Datenverarbeitungsmaschinen als spätere Entwicklungsform aus den Zustandsgrößen der Roten Riesen abzuleiten.

Die vorerst kursorische Diskussion wirft zahlreiche Fragen auf, die im Rahmen dieser Arbeit nicht behandelt werden können. So müßte geklärt werden, welche Rolle die veränderlichen Sterne, die Doppelsterne und die offenen Sternhaufen in dem hier geschilderten Zusammenhang spielen. Eine zuverlässigere Beurteilung der Ergebnisse wird erst möglich sein, wenn Modellrechnungen vorliegen, die von den hier dargelegten Voraussetzungen ausgehen. Hierbei könnte an die NEWTONschen Modelle der Kosmologie angeknüpft werden, die zwar auf die Entwicklung des Universums zugeschnitten sind, aber mutatis mutandis an die Beziehung (5) angepaßt werden können, die einheitlich für die expansive Entwicklung aller kosmischen Objekte gilt, wenn sie sich als substantiiert erweist.

In diesem Zusammenhang ist interessant, daß aus (5)

folgt. Die Änderungsgeschwindigkeit des spezifischen Volumens der kosmischen Körper und Systeme ist hiernach also dem jeweils bei der Expansion erreichten spezifischen Volumen proportional; die Entwicklung erfolgt beschleunigt, und zwar ähnlich wie bei dem EDDiNGTON-LEMAiTHE-Modell der Kosmologie (Bondi, 1961: 84). Dabei stellt (5) ein Integral der Differentialgleichung dar, die der Beziehung (9) entspricht.

Dieses Integral, das Daten kosmologischer Größenordnung liefert, knüpft mit dem spezifischen Volumen des Protons v_mo in dem Verhältnis an v_m/v_mo mikrophysikalische Daten an. Hiernach könnte es für eine vorläufige Beurteilung der Gleichung (5) von Bedeutung sein, wenn es gelänge, sie in eine allgemeine Größengleichung umzuwandeln, bei der ein möglicher Zusammenhang zwischen atomphysikalischen und kosmologischen Daten deutlicher hervortritt. Ein entsprechender Versuch ist nur erfolgversprechend, wenn natürliche Bezugsgrößen eingeführt werden.

Grundlage des natürlichen Bezugssystems, mit dem im folgenden gearbeitet wird, sind in Analogie zum CGS-System der Mechanik die Größen Länge, Masse und Zeit.

a) Die Bezugsmasse m„

Als Bezugsmasse m₀ dient die sehr genau bekannte Masse des Protons (Finkelnburg, 1964: 545):

b) Die Elementarlänge l₀ als Bezugslänge

Schwieriger ist es, eine genau bestimmbare natürliche Bezugsgröße für die Länge zu finden, die in überzeugender Weise mit m_Q koordiniert werden kann. In der theoretischen Physik besteht zwar weitgehende Einigkeit darüber, daß den bekannten Naturkonstanten eine Elementarlänge /₀ von der Größenordnung 10~¹³cm hinzugefügt werden muß, die dem Durchmesser leichter Atomkerne entspricht. Obwohl W. Heisenberg bereits eine kleinste universale Länge l₀ in seine Weltformel der Materie eingefügt hat, ist aber der genaue Wert für die Elementarlänge bisher nicht fixiert. Es liegt nahe, i_u als Durchmesser des Protons d_p zu deuten, der vielfach als identisch mit der Reichweite der Kernkräfte des Wasserstoffatoms angesehen "wird. Aber auch der Durchmesser dieses schweren Elementarteilchens ist noch nicht genau bekannt. Die Angaben liegen zwischen den Grenzen d_p = 2,4•10^-13 cm (Gouiran, 1967: 15) und d_p = 5•10^-13 cm (March, 1948: 203, 205).

Es häufen sich jedoch Indizien, die dafür sprechen, daß der richtige Wert in der Nähe von d_p = 2,6•10^-13 cm liegt. Die verschiedenen Methoden der Bestimmung der Kernradien tk führen in bemerkenswerter Übereinstimmung (Finkelnburg, 1964: 248) zu dem Ausdruck

Da in dieser Beziehung drei fundamentale Naturkonstanten erscheinen, nämlich das Plancksche Wirkungsquantum h, die Masse des Protons m_p und die Lichtgeschwindigkeit c, geht Finkelnburg davon aus, daß sie geeignet sei, I₀ zu definieren. Weisen diese Überlegungen in die richtige Richtung, so ist der Wert für den Durchmesser des Protons in der Nähe von 2,6•10^-13 cm zu suchen.

Es soll versucht werden, für diese Annahme eine Bestätigung in umfassenderen Zusammenhängen zu finden, die zugleich einen Hinweis auf die Funktion der Elementarlänge enthalten. In der Physik sind vier verschiedene Arten der Wechselwirkung zwischen Körpern bekannt: Die starke Wechselwirkung der Kernkräfte, die durch Mesonen vermittelt wird; die elektromagnetische Wechselwirkung, bei der Photonen eine wesentliche Rolle spielen; die schwache Wechselwirkung, in welche unter anderem Neutrinos verwickelt sind, sowie die Gravitationswechselwirkung, bei der nach hypothetischen Vorstellungen Gravitonen als Austauschobjekt dienen. Gegenüber den sehr starken Kräften, die bei der Wechselwirkung im Kern auftreten, ist die Gravitationswechselwirkung sehr schwach. Die Kräfte, die mit den verschiedenen Arten der Wechselwirkung verbunden sind, verringern sich, ausgehend von den Kernkräften, in dem recht genauen Verhältnis

Warum gerade dieses Verhältnis auftritt, kann noch nicht theoretisch erklärt werden. Es ist aber auffällig, daß die Potenz 10³⁹, die das Verhältnis der Kernkräfte zu den Gravitationskräften kennzeichnet, gleichzeitig in den ganz unterschiedlichen Größenbereichen der Atomphysik und der Kosmologie auftaucht. Das Verhältnis der elektrostatischen zur gravitativen Anziehung eines Protons und eines Elektrons hat die Größenordnung 10³⁹. Zugleich liegt aber die Zahl der Nukleonen im Universum in der Größenordnung

A. S. Eddington (1936; 1946), P. A. M. Dirac (1937; 1938) und P. Jordan (1947; 1949) gehen davon aus, daß diese Entsprechungen nicht zufällig sind. Sie haben aus diesen Zusammenhängen Ansätze zu einer „kosmologischen Physik" entwickelt. Ihre unterschiedlichen Ergebnisse sind lebhaft diskutiert worden. Trotz der vorherrschenden Kritik besteht aber Einigkeit darüber, daß die angestrebte Verknüpfung atomarer und kosmologischer Daten unumgänglich ist und voraussichtlich zu umfassenderen Erkenntnissen führen wird. H. Bondi (1961: 61) hebt hervor, daß die erörterten quantitativen Zusammenhänge einen qualitativen Effekt der quantenhaften Struktur des Mikrokoismos auf makrokosmische Verhältnisse indizieren und zieht hieraus den Schluß, daß jede kosmologische Theorie, die dem Quantencharakter der Materie nicht Rechnung trägt, schon vom Ansatz her zu verfälschten Ergebnissen führen muß. Mit Rücksicht hierauf soll in dieser Untersuchung mit einem Bezugssystem gearbeitet werden, das von naturvorgegebenen Daten abgeleitet ist.

Die Zahl der Nukleonen des Universums N_u = 10⁷⁸ läßt sich in eine interessante Beziehung zur Elementarlänge und zu atomaren und kosmologischen Längendaten setzen:

Wie aus der Zusammenstellung zu ersehen ist, werden die Exponenten der Potenzen, welche die verschiedenen Wechselwirkungskräfte kennzeichnen, fortlaufend in gleichbleibender Weise mit l₀ und JV„ verknüpft. Der Wert von l₀ wird hierbei zunächst, abgesehen von der Größenordnung 10^-13 cm, als unbestimmt angesehen. Es ergeben sich entsprechend den Dimensionsverhältnissen Längendaten, die sinnvoll erscheinen:

Die Beziehung (15) führt zu einem Wert, der in seiner Größenordnung dem Radius des Universums r„ entspricht. Die Abmessung dieses Radius kann nicht genau kontrolliert werden; sie liegt aber im richtigen Größenbereich. P. Jordan (1955: 105) gibt z. B. r_u = 2•10²⁷ cm an.

Der Wert, den die Relation (16) ergibt, liegt im Größenbereich der Bohr-schen Radien der Elektronenbahnen.

Die Beziehung (17) führt zu einem Wert, der im Größenbereich der Radien der Bohrschen Bahnen des m ^- -Teilchens liegt. Das m ^- -Teilchen ist, abgesehen von seiner unterschiedlichen Masse, in jeder Hinsicht ein Zwillingsbruder des Elektrons. Es hat daher eher Leptonen - als Mesonenfunktion und wird entsprechend eingeordnet. Seine Bedeutung läßt sich bisher theoretisch nicht verstehen. Es kann wie das Elektron mit Protonen Atome aufbauen (Fin-kelnburg, 1964: 346). Da seine Masse aber mehr als 200mal größer ist als die des Elektrons, beschreibt es engere Bahnen um den Atomkern als das Elektron.

Die stabilste Bahn des Elektrons im Wasserstoffatom ist die BoHRSche Grundbahn mit der Hauptguantenzahl n = 1. In Anregungszuständen springt das Elektron nach der BoHRSchen Theorie auf weiter außen liegende Bahnen mit höherem Energieniveau, die durch fortlaufend höhere Hauptquantenzahlen gekennzeichnet sind. Je weiter das Elektron nach entsprechender Energiezufuhr nach außen vordringt, desto labiler ist der Zustand, in den es sich begibt. A. Sommerfeld (1944: 163) hat darauf hingewiesen, daß der Aufbau der Elektronenschalen der Atome im natürlichen System der Elemente den Hauptquantenzuständen des Elektrons im Wasserstoffatom entspricht, da die K-Schale mit der Hauptquantenzahl n = 1 energetisch am tiefsten liegt, aber auch am stabilsten ist, während die Q-Schale mit der Hauptquantenzahl n = 1 ein entsprechend hohes Energieniveau mit verhältnismäßig großer Labilität verbindet.

Bei den natürlichen Elementen bricht die Entwicklung bei der Hauptquantenzahl n = 7 ab, bei der eine Stabilitätsgrenze erreicht ist. Im Hinblick auf die von A. Sommerfeld aufgezeigten Entsprechungen ist nicht auszuschließen, daß auch der 7. Bahn des Elektrons im Wasserstoffatom eine besondere Bedeutung zukommt. Möglicherweise kennzeichnet sie ebenfalls eine natürliche Stabilitätsgrenze.

Der Wert, den die Beziehung (16) ergibt, liegt in der Größenordnung des Radius der 7. BoHRSchen Bahn des Wasserstoffatoms. Der Zahlenwert für den Radius der 7. Bahn des H-Elektrons ist genau bekannt:

Wird die Beziehung (16) versuchsweise als exakte Gleichung behandelt, so ergibt sich für die Elementarlänge l₀ ein bestimmter Zahlenwert, wenn für r_e der unter (18) angeführte genaue Wert für r_c (_n = 7) eingesetzt wird:

Dieser Wert für die Elementarlänge liegt nahe bei dem Wert für den Durchmesser des Protons d_p = 2,6 • 10^-13 cm, der sich aus (11) ergibt.

Der Radius des Universums, der in der Beziehung (15) erscheint, bezeichnet eine äußere Grenze. Der Radius r_a(n = 7), der mit der Relation (16) verknüpft ist, kann nach den vorstehenden Erörterungen in ähnlicher Weise als kennzeichnend für einen äußeren Grenzzustand angesehen werden. Dagegen scheint die Beziehung (17), wenn sie als exakte Gleichung aufgefaßt wird, einen inneren Grenzzustand zu bezeichnen, nämlich den Abstand vom Kern des Wasserstoffatoms, bis zu dem Elementarteilchen mit Leptonen-funktion vordringen können. Dieser Abstand wird durch den Radius der 1. BoHRschen Bahn des jx ~ -Teilchens im Wasserstoffatom gekennzeichnet. Nach der BoHHSchen Theorie ist

Wird in die Relation (17) als exakte Gleichung der in (19) bestimmte Wert für die Elementarlänge l₀ eingesetzt, so ergibt sich rm -_(n=1)=2,59•10^-11 cm. Dieser Wert weicht von (20) nur geringfügig ab. Die Differenz kann dadurch erklärt werden, daß die m - -Bahn schon sehr nahe am Kern liegt, der unter diesen Umständen nicht mehr als punktförmig angesehen werden darf. Möglicherweise gilt auch die Quantentheorie in unmittelbarer Nähe des Kerns nicht mehr scharf.

Dieses Ergebnis spricht dafür, daß mit dem unter (19) angeführten Wert für die Elementarlänge i₀ praktisch gearbeitet werden kann. Da der Wert für den Durchmesser des Protons, der sich aus (11) ergibt, nur geringfügig von (19) abweicht, soll die in (19) bestimmte Elementarlänge, mit der fortan gerechnet wird, auch den Durchmesser des Protons d_p repräsentieren, c) Die Elementarzeit t„ als Bezugszeit

Die Elementarzeit t₀ wird hier derart definiert, daß sie der Zeit entspricht, die das Licht benötigt, um den Umfang des Protons mit dem in (19) festgelegten Durchmesser zu durchlaufen:

Diese zyklische Definition entspricht den natürlichen Verhältnissen besser als eine Formulierung, welche die Laufzeit schematisch von einer Strecke abnimmt, auf der ein kontinuierlicher Lauf nicht möglich ist, wie z. B. auf dem Durchmesser des Protons, d) Die Bezugsgröße für das spezifische Volumen

In der Beziehung (5) erscheint das spezifische Volumen v_m„. Es handelt sich um das spezifische Volumen des Protons, in welches das Volumen des Protons V_p als Kugelvolumen eingeht:

e) Allgemeine Erörterungen

Wird mit den vorstehend abgeleiteten Bezugsgrößen gerechnet, so lassen sich mögliche Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größenbereichen der Naturerscheinungen leichter erkennen. Dies zeigen die Erörterungen in Abschnitt IV 2, 3. Als Beispiel für Anregungen, die sich auf diese Weise ergeben, sei auf folgende Entsprechung hingewiesen: In Abschnitt III 6 ergab sich als Radius des hypothetischen „Urkerns" r_uo = 1,296•10¹³ cm. Der Radius des Protons hat entsprechend der Definition der Elementarlänge den

Wert

Die formale Ähnlichkeit zwischen diesen beiden Daten ist auffällig.

Aus den Relationen (15), (16) und (17) läßt sich ein diskutabler Wert für den Radius des Universums herleiten. Das Gefüge der als exakte Gleichungen behandelten Beziehungen (16) und (17) hat einer ersten Kontrolle standgehalten. Da sich (15) folgerichtig in den Datenrahmen einfügt, liegt es nahe anzunehmen, daß auch diese Relation, wenn sie als exakte Gleichung behandelt wird, einen Wert liefert, mit dem praktisch gearbeitet werden kann. Ist diese Überlegung richtig, so ergibt sich mit (19) als Radius des Universums

Wird die zugeschnittene Größengleichung (5) in eine allgemeine Größengleichung umgewandelt, in welche die abgeleiteten natürlichen Bezugsgrößen eingehen, so erscheint der funktionale Zusammenhang zwischen Alter und spezifischem Volumen in der Form

t fungiert als Proportionalitätskonstante. Das Alter der untersuchten kosmischen Objekte wird richtig wiedergegeben, wenn die Konstante folgenden Wert annimmt:

Die Größenordnung der Konstanten r legt die Vermutung nahe, daß sie in einem Zusammenhang mit den atomphysikalischen und kosmologischen Daten der gleichen Größenordnung steht, die in Abschnitt IV 1 erörtert worden sind. Das dort unter anderem angeführte Verhältnis der elektrostatischen zur gravitativen Anziehung eines Protons und eines Elektrons mit der Größenordnung 10³⁹ ist eine reine Zahl. Solche fundamentalen reinen

Zahlen stellen nach W. Finkelnburg (1964: 365) eines der drei grundsätzlichen Probleme der modernen Physik dar.

Die physikalische Forschung, deren Ergebnisse immer mehr konvergieren, hat folgenden Bestand grundlegender Naturkonstanten gesichert:

Masse des Protons: m_p = 1,672•10^-24 g

Masse des Elektrons: m_e = 9,108•10^-28 g

Elektrische Elementarladung: e = 4,803•10^-10 g^1/2 cm^3/2 sec^-1
PlanckschesWirkungsquantum: h = 6,625•10^-27 g cm² sec^-1
Lichtgeschwindigkeit: c = 2,998•10¹⁰ cm sec-¹

Gravitationskonstante: / = 6,670•10^-8 g"¹ cm³ sec^-2

(Finkelnburg, 1964: 364). (27)

Die Experimentalwerte, die sich im Bereich der Unsicherheitsspannen für die Grundkonstanten ergeben, haben in verschiedenen Maßsystemen verschiedene Zahlenwerte. Dieser Einfluß des Maßsystems läßt sich ausschalten. Es entstehen Verhältnisgrößen mit der Dimension 1, wenn die Grundkonstanten einander in einem Quotienten derart zugeordnet werden, daß sich für Dividend und Divisor die gleiche Dimension ergibt.

Durch kombinatorische Verknüpfung der sechs angeführten Naturkonstanten lassen sich insgesamt nur drei unbenannte Zahlen bilden. B. Bavink (1949) nimmt daher an, daß diese drei reinen Zahlen im Naturgrund verankert seien.

Die erste, durch das Produkt 2it ergänzte unbenannte Zahl ist der Kehrwert der SoMMERFELD-Konstanten a, die in der Spektraltheorie als Feinstrukturkonstante eine wichtige Rolle spielt:

a läßt sich anschaulich als Verhältnis der Geschwindigkeit des BoHRSchen H-Elektrons auf seiner Grundbahn zur Lichtgeschwindigkeit beschreiben. A. S. Eddington (1928; 1930) hat versucht, diese unbenannte Zahl durch logi-zistische Überlegungen als Erkenntnis a priori zu gewinnen. Er hat sie durch die Kombination relativistischer und quantentheoretischer Prinzipien aus der Vierzahl der Dimensionen der Welt hergeleitet. A. Sommerfeld (1944) hat hierzu bemerkt: „Es ist klar, daß die Eüdingtonsche These, wenn sie einwandfrei begründet werden kann, einen tiefen Zusammenhang zwischen den drei Hauptströmen der modernen theoretischen physikalischen Forschung aufdeckt." Dies sind die Theorie der elektromagnetischen Wechselwirkungen, die Quantentheorie und die Relativitätstheorie, die durch ihre typischen Konstanten e, h und c in der Beziehung (28) vertreten sind. Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, daß es W. Heisenberg und seinen Mitarbeitern 1965 gelungen ist, einen Näherungswert der Feinstrukturkonstanten aus der sogenannten Weltformel der Materie abzuleiten.

Die zweite unbenannte Zahl wird durch das Massenverhältnis von Proton und Elektron gebildet:

Eddington hat auch diese reine Zahl in seine logizistischen Überlegungen einbezogen. Er ist zu dem Wert 1834 gelangt, von dem er annahm, daß er noch innerhalb der Grenzen der Versuchsfehler liege.

Die dritte unbenannte Zahl entspricht dem Verhältnis der Coulombschen Anziehung geladener Elementarteilchen zu deren Neutonscher Anziehung:

Diese reine Zahl, die durch ihre hohe Größenordnung auffällt, hat Eddington in Beziehung zur Zahl der Nukleonen des Universums gesetzt.

Eddingtons Hypothesen sind lebhaft diskutiert worden. Neben Bavink hat sich vor allem H. Friedmann (1949) positiv zu dem von Strukturvorstellungen geprägten Verfahren Eddingtons geäußert. A. March (1948: 233) hat dagegen in einer kritischen Stellungnahme bemerkt: „Sein geistvolles Plädoyer für diese These ist im höchsten Grade anregend. Es ist aber zu bezweifeln, ob Eddington selbst für seine Argumentation bedenkenlos einstehen würde, wenn die Zahlenwerte, die sie ergeben soll, nicht schon von vornherein bekannt wären." P. Jordan (1955: 245) bezeichnet den Deutungsversuch Eddingtons als mißlungen, hebt aber hervor, daß sein bleibendes Verdienst darin liege, das Problem als solches erkannt zu haben.

Im übrigen richten sich die kritischen Äußerungen nur gegen den Anspruch Eddingtons, die unbenannten Zahlen seien ohne Rückbezug auf experimentelle Erfahrungen als Erkenntnis a priori abzuleiten. Auch A. March (1948: 234) selbst schließt aus der Existenz der reinen Zahlen auf die „natürliche Struktur des Weltalls". Es wird allgemein anerkannt, daß die Ableitung und Erklärung der „dimensionslosen Naturkonstanten" ein grundlegendes Problem der modernen Physik darstellt (Finkelnburg, 1964: 365; Dampier, 1952: 480). Dabei wird im Hinblick auf die hohe Größenordnung der Konstanten y vermutet, daß die reinen Zahlen Beziehungen zwischen atomphysikalischen und kosmologischen Größenbereichen ausdrücken, die als Grundlage für eine zukünftige „kosmologische Physik" dienen können (Unsöld, 1967: 316; Bondi, 1961: 60).

Es bedeutete einen Fortschritt in dieser Richtung, wenn es gelänge, die unbenannten Zahlen in praktische Zusammenhänge zu stellen, die Rückschlüsse auf ihre mögliche Funktion zulassen. Bei der Proportionalitätskonstanten t der Beziehung (25) liegt ein solcher Versuch schon deshalb nahe, weil die Potenz 10³⁹ geradezu auf die Verhältnisgröße y hinweist. Eine Prüfung der Möglichkeiten zeigt, daß t als Kombination der drei Verhältnisgrößen a, ß und y gedeutet werden kann:

sinnvolle Ergänzung. In 137,073 steckt das Produkt 2it. Wird dieses herausgelöst, so setzt sich der Ausdruck (28) ebenso wie ß und y nur noch aus Naturkonstanten zusammen:

Mit der hier vorgetragenen Darstellung, die an natürliche Gegebenheiten anknüpft, scheint es schlecht vereinbar zu sein, daß in der Beziehung (25), in der t erscheint, nicht der natürliche, sondern der dekadische Logarithmus auftaucht. In einer Arbeit des Verfassers (1969), die eine neue Reihe der Planetenentfernungen und ihre Entsprechungen zu mikrophysikalischen Daten darstellt, wird jedoch dargelegt, daß die Zahl 10 eine natürliche Strukturfunktion erfüllt, die von ihrer Sonderstellung im Dezimalsystem unabhängig ist. Im übrigen scheint die Kopplungskonstante für die starke Wechselwirkung — ein Analogon zu a als Kopplungskonstante für die elektromagnetische Wechselwirkung und ebenfalls eine unbenannte Zahl — nach den bisherigen experimentellen Ergebnissen den Wert 10 zu haben. Erweist sich dies als richtig, so ergibt sich wiederum eine Beziehung zum Proton, das als Elementarkern den dargestellten Zusammenhängen als Bezugsfundament zugrunde liegt.

Die Wahrscheinlichkeit ist gering, daß sich x in der Form (33) zufällig gerade dann ergibt, wenn in der Beziehung (5) mit natürlichen, von den Eigenschaften des Protons abgeleiteten Bezugsgrößen gerechnet wird. Da die Relation (25) überdies die Grundgrößen Raum, Zeit und Masse in eine funktionale Beziehung setzt, in die alle grundlegenden Naturkonstanten einschließlich der Elementarlänge eingeordnet werden können, erscheint es nicht sinnlos, den aufgezeigten Zusammenhängen weiter nachzugehen.

Für Anregungen, Diskussionen, rechnerische Kontrollen und freundliche Hilfe bei der Drucklegung danke ich Herrn Dr. Gerhard Zickwolff, Bremen.