Задачи по небесной механике. Решение задачи Кеплера в пакете Mathcad

Задача 1. 1) Проведите расчеты при различных значениях начальной скорости и убедитесь, что для безразмерных скоростей незначительно меньших или превосходящих 2p орбита является замкнутым эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце. Это является иллюстрацией правильности первого закона Кеплера.

2) Убедитесь в том, что при задании начальных условий image004.gif (317 bytes)

орбита является круговой.

3) Вычислите значения нормировочных переменных для системы Солнце-Земля.

4) Реальные значения параметров движения орбиты Земли составляют: период обращения T = 3.156*10⁷ с, линейная скорость движения по орбите v = 29.75*10³ м/с, радиус орбиты Земли R = 1.496*10¹¹ км. Используя эти данные, определите эксцентриситет орбиты Земли е и сравните это значение со значением, известным из эксперимента (е = 0.0167). Объясните обнаруженные отличия.

5) Определите значение начальной скорости, при которой происходит падение тела на центр поля. Чему равно значение полной энергии системы в этом случае? Каковы значения этой скорости для системы

6) Определите значение начальной скорости при которой тело может удалиться от притягивающего центра на бесконечно большое расстояние. Чему равно значение полной энергии системы в этом случае? Каковы значения этой скорости для системы Солнце - Земля?

7) Проведите численные эксперименты и найдите зависимость эксцентриситета орбиты и периода обращения от величины начальной скорости.

8) Изменяя номер начальной точки, убедитесь в выполнении третьего закона Кеплера.

9) Оцените точность с которой выполняется второй закон Кеплера. Какой параметр определяет точность сохранения указанной величины?

Задача 2. Рассмотрите динамические эффекты, обусловленные малым отклонением силы притяжения от закона обратных квадратов (соответственно потенциала от закона ), предположив, что , где d << 1.

1)В чем отличие орбиты тела, двигающегося в новом потенциале, от орбиты тела, двигающегося в потенциале ? Убедитесь в том, что полученный результат не зависит от шага интегрирования.

2) При каких начальных условиях планета будет двигаться вокруг центра притяжения по раскручивающейся или по закручивающейся спирали?

3)Один из способов описания траектории движения тела рассмотрение ее как эллиптической орбиты, которая медленно поворачивается (прецессирует) в направлении движения тела. Количественно прецессия характеризуется углом между прямыми, проходящими через последовательные перигелии и фокус эллипса (рис. 7). Оцените величину этого угла для выбранных параметров орбиты и значения d.

4)Предложите алгоритм и составьте программу, позволяющую автоматизировать процедуру вычисления угла прецессии.

5)Используя составленную программу, зафиксируйте значение d и исследуйте зависимость угла прецессии j от длины большой полуоси a невозмущенного эллипса. Постройте график соответствующей зависимости. Оцените функциональную зависимость угла прецессии от длины большой полуоси эллипса. (Указание: постройте график зависимости j=j(d) в логарифмическом масштабе.)

6)Используя составленную программу, зафиксируйте длину большой полуоси эллипса а и исследуйте зависимость угла прецессии j от величины d. Постройте график соответствующей зависимости. Оцените функциональную зависимость угла прецессии j от величины d. (Указание: постройте график зависимости j=j(d) в логарифмическом масштабе.)

Задача 3. Для тела совершающего движение в потенциале

2)Для безразмерных начальных условий x(0)=1, y(0)=0, x'(0)=1 аналитически получите значение безразмерной скорости, обеспечивающей движение тела по окружности.

3)Получите численное решение уравнений движения, постройте зависимость кинематических характеристик от времени и орбиту тела. Подберите шаг, обеспечивающий получение круговой орбиты в течение нескольких периодов. 4)Внесите незначительные изменения в значения начальной скорости, обеспечивающей существование круговой орбиты. Какой будет новая орбита? Чему равна величина полной энергии?

Задача 4. Используя описанную программу, проведите исследование влияния возмущений на орбитальную станцию, движущуюся по круговой орбите вокруг Земли:

1)Как меняется орбита станции, если за счет включения на короткое время двигателя пристыкованной к ней ракеты-носителя станция получила приращение скорости Dn в радиальном направлении?

2)Как зависит это изменение от величины приращения скорости в радиальном направлении и его длительности?

3)Установите меняется ли угловой момент и полная энергия под действием радиального возмущения?

4)Будет ли орбита устойчивой, т.е. будет ли малый переданный радиальный импульс вызывать малые возмущения орбиты, а также будет ли орбита оставаться периодической при отсутствии возмущений при дальнейшем движении?

5)Проведите исследования устойчивости в случае движения в тела в потенциале image23002.gif (379 bytes)

под действием радиальных сил.

6)Как меняется орбита станции, если за счет включения на короткое время двигателя, пристыкованной к ней ракеты-носителя, станция получила приращение скорости Dn в касательном (тангенциальном) направлении?

7)Как зависит это изменение от величины приращения скорости в тангенциальном направлении и его длительности?

8)Установите, меняется ли угловой момент и полная энергия под действием тангенциального возмущения?

9)Будет ли орбита устойчивой, т.е. будет ли малый переданный тангенциальный импульс вызывать малые возмущения орбиты, а также будет ли орбита оставаться периодической при отсутствии возмущений при дальнейшем движении?

10)Исследуйте устойчивость орбиты в случае движения в тела в потенциале под действием тангенциальных сил.

Задача 5. Известно, что от Солнца в направлении Земли, существует поток частиц, называемый солнечным ветром, который приводит к возмущению орбиты движущегося тела. Воздействие солнечного ветра на движущееся тело можно рассматривать, как действие слабой постоянной силы W, действующей на тело в горизонтальном направлении.

1)Запишите уравнения движения, описывающие движение тела в гравитационном поле при учете солнечного ветра.

2)Промоделируйте орбиту при различных значениях величины W.

4)Что происходит с интегралами движения при учете солнечного ветра?

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.