MathCAD   КМ   ТПОИ   3GL   к экономической информатике   4GL - визуальным средам

Решение задачи Кеплера в пакете Mathcad

Поршнев С.В.

Проверка второго закона Кеплера

Для проверки второго закона Кеплера необходимо провести сравнение площади, заметаемой радиус-вектором за равные промежутки времени, используя значения кинематических характеристик движения тела в гравитационном поле, полученные численным решением системы ДУ (24), (25), возвращенные в матрицу Z. Напомним, что размерность матрицы Z, содержащей решения системы ДУ, -- N* 5; нумерация столбцов и строк матрицы начинается с нулевого значения; значения t, содержатся соответственно в 0-ом, 1-ом, 2-ом, 3-ем, 4-ом столбцах матрицы.

   Так как решение уравнений движения проводится на равномерной временной сетке, то для задания начального и конечного значений временного интервала, в течение которого вычисляется площадь сектора, заметаемого радиус-вектором, достаточно указать номер соответствующей строки матрицы Z и количество используемых точек (т.е. длину временного интервала).

При достаточно малом шаге интегрирования D t уравнений движения (определяемым количеством точек N, в которых ищется решение системы ДУ, ) площадь, заметаемая радиус вектором за время D t, примерно равна площади треугольника с вершинами в точках (0,0), , (рис. 8).

рис. 8

Для вычисления площади треугольника, у которого заданы координаты вершин, можно воспользоваться формулой Герона

, (28)

где p - полупериметр треугольника, изображенного на рис. 8, a, b, c - длины его сторон:

, (29)

, (30)

. (31)

Однако программа вычисления площади сектора, заметаемого радиус-вектором, получается более компактной, если использовать встроенную в пакет Mathcad функцию, вычисляющую векторное произведение трехмерных векторов. Как известно из аналитической геометрии, площадь треугольника, изображенного на рис. 8, равна

, (32)

поэтому алгоритм вычисления площади сектора, заметаемого радиус-вектором, реализуется следующей последовательностью действий:

                  1. Задание начального момента времени и длины временного интервала.

                  2. Присвоение координатам вектора соответствующих значений координат орбиты () в момент времени.

                 3. Присвоение координатам вектора соответствующих значений координат орбиты () в момент времени .

                 4. Вычисление площади треугольника , заметаемого радиус-вектором на временном интервале .

                 5. Нахождение площади, заметаемой радиус-вектором на временном интервале , суммированием известной площади, заметаемой радиус-вектором на интервале , и D S.

   Для реализации этого алгоритма документ, описанный в предыдущем разделе, необходимо дополнить следующими строками.

                  1) Задание номера начальной точки, начиная с которой производится вычисление площади, заметаемой радиус-вектором

;

                   2) Задание количества точек, по которым вычисляется площадь, заметаемая радиус-вектором

;

                   3) Программа для вычисления площади, реализующая описанный выше алгоритм

   Далее, задавая различные начальные значения номера начальной точки, можно убедиться в том, что значение переменной S с определенной точностью остается.

                                                                                   Рис.9

 

   Представляет определенный интерес не только вычислить площадь сектора, заметаемого радиус-вектором, но и изобразить данный сектор на рисунке вместе с траекторией тела. Однако анализ этой задачи обнаруживает известную ограниченность графических возможностей Mathcad, который позволяет изображать на рисунках только функциональные зависимости. Средств, позволяющих нарисовать замкнутую фигуру произвольной формы и залить ее выбранным цветом, разработчики Mathcad, к сожалению, не предусмотрели. Однако выход из данной ситуации все-таки существует. Он состоит в том, чтобы последовательно нарисовать каждый из секторов, заметаемых радиус-вектором за время Dt. Для построения последовательности секторов необходимо сформировать двумерный массив S1, содержащий координаты вершин последовательных треугольников, аппроксимирующих сектор, заметаемый радиус вектором (рис. 9), и затем построить график зависимости, заданной в виде таблицы. Ниже мы приводим текст соответствующей программы, который следует добавить в ранее созданный документ.

   Затем построить на одном чертеже орбиту, отметить фокус эллипса, и нарисовать сектор, заметаемый радиус-вектором (рис. 10).

                                                                                           Рис.10

на верх   MathCAD   КМ   ТПОИ   3GL   к экономической информатике   4GL - визуальным средам

Знаете ли Вы, что в 1974 - 1980 годах профессор Стефан Маринов из г. Грац, Австрия, проделал серию экспериментов, в которых показал, что Земля движется по отношению к некоторой космической системе отсчета со скоростью 360±30 км/с, которая явно имеет какой-то абсолютный статус. Естественно, ему не давали нигде выступать и он вынужден был начать выпуск своего научного журнала "Deutsche Physik", где объяснял открытое им явление. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution