MathCAD   КМ   ТПОИ   3GL   к экономической информатике   4GL - визуальным средам

Решение задачи Кеплера в пакете Mathcad

Поршнев С.В.

Проверка второго закона Кеплера

Для проверки второго закона Кеплера необходимо провести сравнение площади, заметаемой радиус-вектором за равные промежутки времени, используя значения кинематических характеристик движения тела в гравитационном поле, полученные численным решением системы ДУ (24), (25), возвращенные в матрицу Z. Напомним, что размерность матрицы Z, содержащей решения системы ДУ, -- N* 5; нумерация столбцов и строк матрицы начинается с нулевого значения; значения t, содержатся соответственно в 0-ом, 1-ом, 2-ом, 3-ем, 4-ом столбцах матрицы.

   Так как решение уравнений движения проводится на равномерной временной сетке, то для задания начального и конечного значений временного интервала, в течение которого вычисляется площадь сектора, заметаемого радиус-вектором, достаточно указать номер соответствующей строки матрицы Z и количество используемых точек (т.е. длину временного интервала).

При достаточно малом шаге интегрирования D t уравнений движения (определяемым количеством точек N, в которых ищется решение системы ДУ, ) площадь, заметаемая радиус вектором за время D t, примерно равна площади треугольника с вершинами в точках (0,0), , (рис. 8).

рис. 8

Для вычисления площади треугольника, у которого заданы координаты вершин, можно воспользоваться формулой Герона

, (28)

где p - полупериметр треугольника, изображенного на рис. 8, a, b, c - длины его сторон:

, (29)

, (30)

. (31)

Однако программа вычисления площади сектора, заметаемого радиус-вектором, получается более компактной, если использовать встроенную в пакет Mathcad функцию, вычисляющую векторное произведение трехмерных векторов. Как известно из аналитической геометрии, площадь треугольника, изображенного на рис. 8, равна

, (32)

поэтому алгоритм вычисления площади сектора, заметаемого радиус-вектором, реализуется следующей последовательностью действий:

                  1. Задание начального момента времени и длины временного интервала.

                  2. Присвоение координатам вектора соответствующих значений координат орбиты () в момент времени.

                 3. Присвоение координатам вектора соответствующих значений координат орбиты () в момент времени .

                 4. Вычисление площади треугольника , заметаемого радиус-вектором на временном интервале .

                 5. Нахождение площади, заметаемой радиус-вектором на временном интервале , суммированием известной площади, заметаемой радиус-вектором на интервале , и D S.

   Для реализации этого алгоритма документ, описанный в предыдущем разделе, необходимо дополнить следующими строками.

                  1) Задание номера начальной точки, начиная с которой производится вычисление площади, заметаемой радиус-вектором

;

                   2) Задание количества точек, по которым вычисляется площадь, заметаемая радиус-вектором

;

                   3) Программа для вычисления площади, реализующая описанный выше алгоритм

   Далее, задавая различные начальные значения номера начальной точки, можно убедиться в том, что значение переменной S с определенной точностью остается.

                                                                                   Рис.9

 

   Представляет определенный интерес не только вычислить площадь сектора, заметаемого радиус-вектором, но и изобразить данный сектор на рисунке вместе с траекторией тела. Однако анализ этой задачи обнаруживает известную ограниченность графических возможностей Mathcad, который позволяет изображать на рисунках только функциональные зависимости. Средств, позволяющих нарисовать замкнутую фигуру произвольной формы и залить ее выбранным цветом, разработчики Mathcad, к сожалению, не предусмотрели. Однако выход из данной ситуации все-таки существует. Он состоит в том, чтобы последовательно нарисовать каждый из секторов, заметаемых радиус-вектором за время Dt. Для построения последовательности секторов необходимо сформировать двумерный массив S1, содержащий координаты вершин последовательных треугольников, аппроксимирующих сектор, заметаемый радиус вектором (рис. 9), и затем построить график зависимости, заданной в виде таблицы. Ниже мы приводим текст соответствующей программы, который следует добавить в ранее созданный документ.

   Затем построить на одном чертеже орбиту, отметить фокус эллипса, и нарисовать сектор, заметаемый радиус-вектором (рис. 10).

                                                                                           Рис.10

на верх   MathCAD   КМ   ТПОИ   3GL   к экономической информатике   4GL - визуальным средам

Знаете ли Вы, низкочастотные электромагнитные волны частотой менее 100 КГц коренным образом отличаются от более высоких частот падением скорости электромагнитных волн пропорционально корню квадратному их частоты от 300 тыс. км/с при 100 кГц до примерно 7 тыс км/с при 50 Гц.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 24.08.2019 - 06:34: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
24.08.2019 - 06:33: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
24.08.2019 - 06:30: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
21.08.2019 - 14:24: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
19.08.2019 - 13:00: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
19.08.2019 - 12:52: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Ю.Ю. Болдырева - Карим_Хайдаров.
17.08.2019 - 18:50: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Андрея Тиртхи - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 23:52: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 23:50: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 17:13: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМЫ ВНЕДРЕНИЯ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 16:22: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 14:50: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА - Experimental Physics -> Вихревые эффекты и вихревые теплогенераторы - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution