Уравнения движения планет. Решение задачи Кеплера в пакете Mathcad

В качестве отправной точки решения задачи Кеплера рассмотрим движение двух тел, взаимодействующих друг с другом, считая их при этом материальными точками. Функция Лагранжа такой системы имеет вид

где

- радиус-векторы первого и второго тела, соответственно,

- потенциальная взаимодействия тел, g - гравитационная постоянная. Введем вектор, направленный от первого тела ко второму телу

Тогда в системе отсчета с началом координат в центре масс рассматриваемой системы тел

Величину, определяемую в соответствии с (7), принято называть приведенной массой. Функция (6) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой m, движущейся в потенциале

, симметричном относительно начала выбранной системы отсчета. Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к задаче о движении одного тела с массой m в заданном внешнем поле

, создаваемом неподвижным центром с массой m₁+m₂. Отметим, что если масса одного из взаимодействующих тел значительно меньше массы другого тела, последнее можно рассматривать как неподвижный притягивающий центр, и найденная зависимость

будет описывать траекторию движения более легкого тела.

В противном случае, решив задачу о движении тела с массой m в потенциале

по зависимости

, в соответствии с (4), (5) находят траектории каждой частицы

Воспользовавшись уравнениями Лагранжа (здесь обобщенными координатами являются координаты радиус-вектора, обобщенными скоростями - координаты вектора

)

в полном соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона.

Отметим два важных свойства силы тяготения, вытекающих из (10):

1) сила зависит только от расстояния между телами;

2) сила направлена по прямой, проходящей через центры взаимодействующих тел.

Такие силы называются центральными. Можно показать ([1]), что следствием указанных свойств является сохранение момента импульса тела

Сохранение момента импульса, в свою очередь, означает, что траектория движения тела в центральном поле лежит в плоскости, которой перпендикулярен вектор

. Кроме того, движение тела ограничивается условиями сохранения полной энергии

Для решения уравнений движения выберем прямоугольную систему координат, начало которой находится в центре масс (рис.1).

(Отметим, что в отличие от аналитического решения, наиболее просто получаемого в цилиндрической системе координат, численное решение задачи Кеплера более удобно проводить в декартовой системе координат). Уравнения движения (9) в выбранной системе координат имеют следующий вид:

Введя обозначение

и сократив общие множители, запишем выражения (13), (14), составляющие систему ДУ второго порядка, в виде

Предваряя численное решение системы уравнений (15), (16), проведем обезразмеривание этих уравнений. Если в качестве единиц измерения расстояния и времени выбрать радиус орбиты R и период обращения Т, соответствующие движению тела по окружности, то можно ввести безразмерные переменные

. Выполнив в (15), (16) замену переменных x® X, y® Y, t® t , получаем:

Как известно, при движении тела по окружности величина центростремительного ускорения а связана с радиусом круговой орбиты

и скоростью тела

соотношением

При движении в гравитационном поле по окружности центростремительное ускорение обусловлено гравитационной силой. Следовательно,

Выражение (21), являясь общим условием любой круговой орбиты, позволяет найти зависимость периода движения от радиуса орбиты. Период движения

поэтому, подставив в (22) выражение (21), получим

Подставляя выражение (23) в (17), (18), получаем окончательно обезразмеренную систему уравнений

Из уравнений (24), (25) видна их универсальность - они не зависят ни от периода обращения тела вокруг центра поля, ни от радиуса орбиты. Следовательно, величина

, входящая в (17) и (18), одинакова для всех тел, совершающих движение в гравитационном поле по замкнутым траекториям, что является доказательством справедливости третьего закона Кеплера.

При решении системы дифференциальных уравнений будем считать, что в начальный момент времени тело находилось в точке с радиус-вектором

, скорость тела была направлена вертикально вверх,

(рис. 2). Так как система уравнений (24), (25) является безразмерной, необходимо также привести к безразмерному виду начальные условия. Выполнив, как и выше, замену переменных

, приводим начальные условия к следующему виду:

Однако использовать конкретные числовые значения R, T, M для проверки законов Кеплера не требуется, так как безразмерные начальные условия также обладают известным универсализмом. Для того чтобы это показать, найдем безразмерную скорость тела, движущегося в гравитационном поле по окружности. Подставив (21), (23) в (27), получаем

Следовательно, для получения орбит, отличных от круговых, достаточно задавать значения начальной скорости, отличные от 2p.

Знаете ли Вы, что любой разумный человек скажет, что не может быть улыбки без кота и дыма без огня, что-то там, в космосе, должно быть, теплое, излучающее ЭМ-волны, соответствующее температуре 2.7ºК. Действительно, наблюдаемое космическое микроволновое излучение (CMB) есть тепловое излучение частиц эфира, имеющих температуру 2.7ºK. Еще в начале ХХ века великие химики и физики Д. И. Менделеев и Вальтер Нернст предсказали, что такое излучение (температура) должно обнаруживаться в космосе. В 1933 году проф. Эрих Регенер из Штуттгарта с помощью стратосферных зондов измерил эту температуру. Его измерения дали 2.8ºK - практически точное современное значение. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.