Собственные векторы и собственные значения матриц

Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры — это задача поиска собственных векторов х и собственных значений X матрицы А, т. е. решения матричного уравнения Ах=Хх. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений L1L2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,... Для решения таких задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

  • eigenvais(A) — вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;
  • eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;
    • n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvais;
  • eigenvec(A,A.) — вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения L;
    • А — квадратная матрица.

Применение этих функций иллюстрирует листинг 9.36. Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена в листинге 9.37. Причем проверка правильности выражения Ах=Lх проведена дважды — сначала на числовых значениях х и L, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.

Листинг 9.36. Поиск собственных векторов и собственных значений

Листинг 9.37. Проверка правильности нахождения собственных векторов собственных значений (продолжение листинга 9,36)

Помимо рассмотренной проблемы поиска собственных векторов и значений, иногда рассматривают более общую задачу, называемую задачей на обобщенные собственные значения: Aх=LBx. В ее формулировке помимо матрицы А присутствует еще одна квадратная матрица в. Для задачи на обобщенные собственные значения имеются еще две встроенные функции, действие которых аналогично рассмотренным (листинги 9.38 и 9.39):

  • genvais(A,B) — вычисляет вектор v собственных значений, каждый из которых удовлетворяет задаче на обобщенные собственные значения;
  • genvecs(A/B) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в векторе v, который вычисляется с помощью genvais. В этой матрице i-й столбец является собственным вектором х, удовлетворяющим задаче на обобщенные собственные значения;
    • А, в — квадратные матрицы.

Листинг 9.38. Поиск обобщенных собственных векторов и собственных значений

Листинг 9.39. Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений (продолжение листинга 9.38)

  

Знаете ли Вы, в чем фокус эксперимента Майкельсона?

Эксперимент А. Майкельсона, Майкельсона - Морли - действительно является цирковым фокусом, загипнотизировавшим физиков на 120 лет.

Дело в том, что в его постановке и выводах произведена подмена, аналогичная подмене в школьной шуточной задачке на сообразительность, в которой спрашивается:
- Cколько яблок на березе, если на одной ветке их 5, на другой ветке - 10 и так далее
При этом внимание учеников намеренно отвлекается от того основополагающего факта, что на березе яблоки не растут, в принципе.

В эксперименте Майкельсона ставится вопрос о движении эфира относительно покоящегося в лабораторной системе интерферометра. Однако, если мы ищем эфир, как базовую материю, из которой состоит всё вещество интерферометра, лаборатории, да и Земли в целом, то, естественно, эфир тоже будет неподвижен, так как земное вещество есть всего навсего определенным образом структурированный эфир, и никак не может двигаться относительно самого себя.

Удивительно, что этот цирковой трюк овладел на 120 лет умами физиков на полном серьезе, хотя его прототипы есть в сказках-небылицах всех народов всех времен, включая барона Мюнхаузена, вытащившего себя за волосы из болота, и призванных показать детям возможные жульничества и тем защитить их во взрослой жизни. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

{DATA}
НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 14.11.2019 - 19:52: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
14.11.2019 - 12:35: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Светланы Вислобоковой - Карим_Хайдаров.
13.11.2019 - 19:20: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
13.11.2019 - 11:05: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 19:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Марины Мелиховой - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Бориса Сергеевича Миронова - Карим_Хайдаров.
12.11.2019 - 11:49: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Веры Лесиной - Карим_Хайдаров.
11.11.2019 - 00:24: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
10.11.2019 - 23:14: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Кирилла Мямлина - Карим_Хайдаров.
08.11.2019 - 06:42: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
05.11.2019 - 21:56: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Декларация Академической Свободы - Карим_Хайдаров.
04.11.2019 - 12:41: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> КОМПЬЮТЕРНО-СЕТЕВАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution