Метод продолжения по параметру

Решение "хороших" нелинейных уравнений и систем типа тех, которые были рассмотрены в предыдущих разделах этой главы, представляет собой несложную, с вычислительной точки зрения, задачу. В реальных инженерных и научных расчетах очень распространена более сложная проблема: решение не одного уравнения (или системы), а целой серии уравнений, зависящих от некоторого параметра (или нескольких параметров). Для таких задач существуют очень эффективные методы, которые называются методами продол-жения. Эти методы непосредственно не встроены в Mathcad, но могут быть легко запрограммированы с помощью уже рассмотренных нами средств. Будем далее говорить об одном уравнении, имея в виду, что всегда возможно обобщение результатов на случай системы уравнений.

Пусть имеется уравнение f (а,х)=0, зависящее не только от неизвестного х, но и от параметра а. Требуется определить зависимость его корня х от параметра а, т. е. х(а). Простой пример такой задачи был приведен в предыдущем разделе в листинге 8.18. Тогда нам повезло, и решение в общем виде было найдено с помощью символьных вычислений. Рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, аналитическое решение которого также заранее известно, но с которым символьный процессор, тем не менее, не справляется. Обобщим задачу, добавив зависимость от параметра а следующим образом:

sin(ax)=0.                                          (1)

Аналитическое решение этого уравнения находится из соотношения ах =Npi, где N=0,1,2,..., т е. имеется бесконечное количество (для каждого N) семейств решений xN=Npi/a. Несколько из семейств для N=1,2,3 показаны на рис. 8.10 тремя сплошными кривыми. Кроме того, следует иметь в виду, что для N=0, т. е. х=0, решением является прямая, совпадающая с осью х. Заметим (листинг 8.19), что символьный процессор Mathcad выдает в качестве решения только эту серию х=0.

Листинг 8.19. Символьное решение уравнения sin (а-х)=0

Забудем на время, что аналитическое решение известно, и подойдем к уравнению (1) как к любой другой новой задаче. Решим его методом секущих, применяя для этого встроенную функцию root. Самый простой, но далеко не лучший способ иллюстрируется листингом 8.20. Корень уравнения (1) требуется определить численно для каждого значения параметра а. Для этого первые две строки листинга создают ранжированную переменную 1, с помощью которой определяется вектор значений параметра а„ для которых будут производиться расчеты. Его элементы пробегают значения от о.ою до 0.025 с шагом o.ooos (эти числа взяты ради примера, Вы можете поэкспериментировать с другими значениями). Последняя строка листинга присваивает элементам еще одного вектора у вычисленные с помощью функции root значения корней уравнения (1) для каждого ах. Но, для того чтобы функция root заработала, необходимо предварительно задать начальное приближение к решению, что сделано в третьей строке листинга. Ключевой момент метода, примененного в листинге 8.20, заключается в том, что одно и то же начальное значение х=зоо использовано для всех ах.

Рис. 8.10. Решение уравнения sin(ax) =0 (см. листинг 8.21)

Листинг 8.20. Один из способов численного решения

Результат расчетов у± показан на том же рис. 8.10 точками, причем самая левая точка отвечает начальному значению у0=300. Обратите внимание, что, по мере увеличения а, кривая корней уравнения сначала идет по семейству решений у=я/а, а потом (в районе а«0.17) "перепрыгивает" на другое семейство у=2-я/а. С вычислительной точки зрения такая ситуация чаще всего крайне неблагоприятна, поскольку хотелось бы отыскать непрерывное семейство решений. Скачки зависимости у (а) могут вводить пользователя в заблуждение, вовсе скрывая от него существование семейства решений.

Почему же происходят эти скачки с одного семейства решений на другое? Конечно, причина кроется в выборе начального значения для вычисления каждого из корней. Линия начальных значений у=зоо обозначена на рис. 8.10 в виде пунктирной горизонтальной прямой. Для a0=o.oi, и вообще для нескольких первых а1 начальное значение у=зоо находится ближе всего к нижнему семейству решений у=я/а. Поэтому неудивительно, что численный метод находит именно эти корни. В правой части графика на рис. 8.10 к линии начальных значений ближе второе семейство решений у=2-я/а, к ним-то и приводит численный метод.

Приведенные соображения диктуют очень простой рецепт избавления от скачков и нахождения одного из семейств непрерывных решений. Для этого требуется при поиске каждого (i+D-го корня взять начальное значение, по возможности близкое к отыскиваемому семейству. Неплохим вариантом будет выбор приближения в виде предыдущего 1-го корня, который был найден для прошлого значения параметра аг. Возможный вариант воплощения этого метода, называемого продолжением по параметру, приведен в листинге 8.21. В нем функция root применена внутри функции пользователя f uo,a), определенной в самом начале листинга с помощью средств программирования. Назначение функции f uo,a) заключается в том, что она выдает значение корня для заданного значения параметра а и начального приближения к решению хо. В остальном, смысл листинга 8.21 повторяет предыдущий, за исключением того, что задается явно (в его предпоследней строке) только начальное значение УО=ЗОО только для поиска уг. Для всех последующих точек, как следует из последней строки листинга, взято начальное значение, равное предыдущему корню У!.

Листинг 8.21. Решение уравнения sin(ax)=0 методом продолжения по параметру

Результат вычислений, приведенный на рис. 8.11, разительно отличается от предыдущего. Как видно, столь малое изменение идеологии применения численного метода привело к определению непрерывного семейства корней. Отметим, что получить результат рис. 8.10 (без продолжения по параметру) в терминах введенной нами функции f (х0,а) можно, изменив ее первый аргумент в последней строке листинга 8.21 на константу: f oodaj.

Рис. 8.11. Решение уравнения sin(a-x)=0 методом продолжения для у0=300 (листинг 8.21)

Чтобы найти другое семейство решений, нужно взять соответствующее первое начальное значение у0, например у0=600. Результат действия листинга 8.21 для этого случая показан на рис. 8.12. Если взять у0 ближе к третьему семейству решений (например у0=300), то оно и будет найдено вычислительным процессором Mathcad, и т. д.

С помощью метода продолжения можно решать и соответствующие задачи оптимизации, зависящие от параметра. Идеология в этом случае остается точно такой же, но вместо функций решения нелинейных уравнений root или Find вам следует применить одну из функций поиска экстремума Min-err, Maximize или Minimize.

Мы привели основную идею и один из возможных способов реализации метода продолжения по параметру. Безусловно, Вы можете предложить иные как математические, так и программистские решения этой проблемы. В частности, для выбора очередного начального приближения к корню можно использовать результат экстраполяции уже найденной зависимости х(а), придумаъ более сложные алгоритмы для ветвящихся сем решений и т. д.

Рис. 8.12. Решение уравнения sin (ах) =0 методом продолжения по параметру для у0=600