Производные высших порядков

Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 0-го до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-го порядка в точке х, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной (см. разд. 7.2.1), за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо применить оператор N-й производной (Nth Derivative). Этот оператор вводится с той же панели Calculus (Вычисления) либо с клавиатуры нажатием клавиш <Ctrl>+<?> и содержит еще два местозаполнителя, в которые следует поместить число N. В полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению того же числа в другом из них.

"Производная" при N=0 по определению равна самой функции, при N=1 получается обычная первая производная. Листинг 7.14 демонстрирует численное и символьное вычисление второй производной. Обратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необходимо перед оператором дифференцирования присвоить аргументу функции значение, для которого будет вычисляться производная.

Листинг 7.14. Численное и символьное вычисление второй производной

Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга 7.14 дает тот же результат, что и вычислительный процессор в предыдущей строке, можно, упростив его. Для этого следует выделить полученное последнее выражение и выбрать в меню Symbolics (Символика) пункт Symplify (Упростить). После этого ниже появится еще одна строка с численным результатом выделенного выражения.

Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го, следует последовательно применить несколько раз оператор N-й производной, подобно тому как вводились операторы кратного интегрирования (см. разд. 7.1.4). Однако для символьных вычислений этого не потребуется — символьный процессор умеет считать производные порядка выше 5-го. Сказанное иллюстрирует листинг 7.15, в котором сначала численно, а затем символьно вычисляется седьмая производная синуса в точке х=0.1.

Листинг 7.15. Численное и символьное вычисление седьмой производной

Расчет производных высших порядков производится тем же вычислительным методом Риддера, что и расчет первых производных. Причем для первой производной этот метод обеспечивает точность до 7-8 значащих разрядов числа, а при повышении порядка производной на каждую единицу точность падает примерно на один разряд.

Из сказанного ясно, что падение точности при численном расчете высших производных может быть очень существенно. В частности, если попытаться определить девятую производную синуса, подобно идее листинга 7.15, то в качестве результата будет выдан нуль, в то время как истинное значение девятой производной равно cos (0.1).