Первая производнаяДля того чтобы продифференцировать функцию f (х) в некоторой точке:
Рис. 7.3. Оператор дифференцирования Пример дифференцирования функции f(x)=cos(x)ln(x) приведен в листинге 7.10. Листинг 7.10. Численное и символьное дифференцирование Не забывайте предварительно определять точку, в которой производится численное дифференцирование, как это сделано в первой строке листинга 7.10. Иначе будет выдано сообщение об ошибке, показанное на рис. 7.4, гласящее, что переменная или функция, входящая в выражение, ранее не определена. Между тем, символьное дифференцирование не требует обязательного явного задания точки дифференцирования В этом случае вместо значения производной (числа или числового выражения) будет выдана аналитическая зависимость (см. верхнюю часть рис. 7.4).
Рис. 7.4. Ошибка в применении оператора дифференцирования Конечно, можно, как и при использовании других операторов, предварительно определить функцию в отдельном выражении, а затем посчитать ее производную (см. листинг 7.11); или применить оператор дифференцирования для определения собственных функций пользователя (см. листинг 7.12).
Листинг 7.11. Символьное и численное дифференцирование функции пользователя Листинг 7.12. Определение функции через оператора дифференцирования В обоих листингах первой строкой определяется функция f (x)=1/x. Во второй строке листинга 7.11 с помощью символьного процессора находится аналитическое выражение ее производной, а в оставшейся части, подобно листингу 7.10, сначала численно, а затем аналитически определяются значения этой производной в точке х=0.1. В листинге 7.12 через производную от f (х) определяется еще одна пользовательская функция д(х) и затем находится ее конкретное значение в той же точке х=0.1. Как Вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению. Однако в некоторых случаях при его вводе следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный в листинге 7.13. Его первые две строки вычисляют производную sin(x) в точке х=0.5. Последняя строка демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования. Вместо вычисления производной sin(x) в той же точке, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось потому, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=0.5, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=0.5, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль. Листинг 7.1З. Приер правильного и неправильного применения дифференцирования Для численного дифференцирования Mathcad применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе Mathcad, доступной через меню Help (Справка). Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL или CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом. Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например для рассмотренной нами функции f (x)=1/x это будут точки вблизи х=о. При попытке найти ее производную при х=о будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero" (Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero" (Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, Вы делите на ноль). Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10-100, то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution" (Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что Вы не имеете дело с точкой сингулярности. |
Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.