Разложение в ряд (Expand to Series)

С помощью символьного процессора Mathcad возможно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х=о, т. е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+... Здесь а₁— некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение. Если выражение имеет в точке х=о особенность, то * соответствующее разложение называют рядом Лорана.

Чтобы разложить выражение в ряд

• Введите выражение.
• Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложение в ряд.
• Выполните команду Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика / Переменная / Разложить в ряд) (рис. 5.15).
• В появившемся диалоговом окне (рис 5 16) введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation) и нажмите кнопку ОК.

Результат разложения появится под выражением (рис. 5.17).

Не забывайте, что разложение строится только в точке х=о Чтобы получить разложение в другой точке х=а, можно, к примеру, подставить вместо переменной х значение х-а (см. разд 52.8).

Рис. 5.15. Подготовка выражения для разложения в ряд по переменной х

Рис. 5.16. Разложение в ряд Тейлора

Рис. 5.17. Результат разложения в ряд Тейлора

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic (Символика) После ключевого слова series, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации (листинги 5.13. и 5.14.) Сравнение функции и ее разложений в ряды с разными порядками аппроксимации (для k=b=i) иллюстрируется рис 5.18. Видно, что разложение в ряд хорошо работает в окрестности точки х=о, а по мере удаления от нее все сильнее и сильнее отличается от функции

Листинг 5.13. Разложение выражения в ряд с разным порядком аппроксимации

Листинг 5.14.Разложение выражения в ряд по разным переменным

Рис. 5.18. Функция и ее разложения в ряды Тейлора