ПРИБАВЛЕНИЕ К СТАТЬЕ “УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ТЕЛАХ”
1. В статье “Уравнения движения энергии в телах> было показано, что для тел постоянной упругости мы имеем:
где Э означает плотность энергии в точке упругого тела, р — натяжения, и, v, w — перемещения частицы по осям, и', v', w' — соответственные скорости.
Выражение (1) показывает, что всегда существуют три функции ух, рв, [jz, обладающие тем свойством, что сумма их первых производных по осям х, у, z даёт уменьшение плотности энергии в единицу времени в данной точке тела. Эти функции суть:
функции [jx, \iy, pz могут быть названы токами энергии по осям прямоугольных координат х, у, z.
Отыщем соотношение между током энергии ра через какую-нибудь бесконечно малую площадку а внутри тела и токами
\ix, [>у, pz. G этой целью вообразим себе элементарный тетраэдр, вершина коего находится в какой-нибудь точке тела, координаты которой суть х, у, z, три ограничивающие плоскости параллельны осям координат, а четвёртая есть бесконечно малая площадь о. Выражение (9) упомянутой статьи, представляющее сохранение энергии в упругом теле, справедливо для произвольно взятой его части, причём тройные интегралы должны быть распространены на её объём, двойные— на её поверхность. Относя выражение (9) к элементарному тетраэдру, мы находим, заменяя 1и, 8и, 8“> через и' v' w'\
Значки а, х, у, z, поставленные внизу скобок, показывают, что стоящие в них выражения должны быть взяты для центров тяжестей соответственных площадей. Величины a, ß, у суть косинусы углов внешней нормали к элементу з с осями координат.
Предыдущее выражение может быть ещё написано в таком виде:
С другой стороны, принимая положительными токи, входящие в тетраэдр, мы должны иметь следующее выражение сохранения энергии в элементарном тетраэдре:
-Сравнивая тождественные выражения (4) и (5), находим:
pa = “px-f fr-ff + YfV (6)
Это соотношение представляет искомую связь между током энергии через произвольно взятую элементарную длощадь а и токами через три взаимно перпендикулярные элементарные площади, пересекающиеся в центре тяжести площади а.
Займёмся теперь определением направления движения энергии. С этой целью обратимся к выражению (2). Положим:
<? = '^+P2y + i4. (7)
Вообразим себе в какой-нибудь точке
M тела линию I, делающую с осями координат углы, коих косинусы сутьРж
P?; Рг /0\Q" ' Q ' Q • ( >
Докажем, что через всякую элементарную площадку, проведённую в точке
M параллельно линии I, энергия не передаётся; каждая такая площадка, так сказать, непроницаема для энергии. Воображая себе в точке M линию s, перпендикулярную к I, мы должны доказать, что ток энергии через весьма малую площадку, перпендикулярную к линии s, будетPs
= 0.Если a, ß, у суть косинусы углов, делаемых линией s с осями координат, то по условию перпендикулярности линий Z и s
a
P* + ßpy + YPz = 0. (9)Но по выражению (6) это есть не что иное, как ps. Следовательно,
PS = 0, (10)
что и требовалось доказать. Воображая себе в точке M бесконечно тонкий и бесконечно короткий цилиндр, параллельный линии I, мы заключаем из предыдущего,
что через боковую поверхность цилиндра не будет передаваться энергия. Объёму, заключённому внутри цилиндра, энергия будет передаваться (входить) через одно основание цилиндра, а отдаваться (выходить) смежным частям — через другое основание. Направление оси этого цилиндра, или направление, определяемое косинусами (8), я назову направлением движения энергии в точке M . Количество движущейся энергии в точке М, или ток энергии через площадку, перпендикулярную к линии l и проходящую через точку М, будет
Величина
Q есть величина полного тока энергии в данной точке М . Эти выводы не зависят, очевидно, от частной формы (2) токов энергии.2. Новый метод определения частичных движений упругих тел. Выше было показано, что энергия распространяется по линиям, касательные к которым в данной точке пространства делают с осями координат углы, коих косинусы суть
Направление движения энергии вообще не совпадает с направлением линий, нормальных к поверхностям равной энергии или к поверхностям изодинамическим. Условие движения энергии по нормалям к изодинамическим поверхностям есть
Если в упругом теле движения распространяются волнами, то условие движения энергии по нормалям к волновым поверхностям заключается в совпадении волновых и изодинамических поверхностей, — условие всегда возможное.
Явления волнообразных движений суть простейшие и легко поддаются теоретическим изысканиям. Причина заключается в том, что геометрическая система — волна и луч, характеризующая рассматриваемое движение, принадлежит к простейшим геометрическим комбинациям поверхностей и линий.
Мы можем теперь ввести понятия более сложные, но в то же время и более общие, которые, характеризуя явления частичных движений упругого тела, могут быть положены в основание их теоретического исследования.
Луч есть частный вид линий, по которым движется в теле энергия,—линий, делающих с осями координат углы, коих косинусы представляются выражениями (13). Эти линии я назову динамическими линиями. Поверхности, к ним нормальные, я назову статическими поверхностями, так как по ним нет движения энергии.
Преобразуем уравнения движения частиц упругого тела в ортогональные координаты, причём одно из семейств ортогональных поверхностей образуется статическими поверхностями, соответствующими искомому движению в теле данной формы и с данными условиями на поверхности. Из выражений трёх токов энергии только одно, представляющее ток
ps по динамической линии, будет отлично от нуля; остальные два выражения будут нули.Для каждого элемента поверхности тела должны быть даны три условия, чтобы задача о движении его частиц была совершенно определённа. Обыкновенно такими условиями даются: величина давления или натяжения для каждого момента времени и два угла, определяющие их направление. Вместо этих условий могут быть даны величины токов энергии
\>х, ру, pz для каждого элемента поверхности или, что всё равно, полная величина тока энергии через элемент поверхностиэтого тела и его направление, т. е. направление элемента динамической линии для каждой точки поверхности тела.
Так как знание трёх токов энергии по трём данным направлениям достаточно для определённости задачи, то, задавшись наперёд видом ортогональных поверхностей р, р!, р
2 и величиной ps на поверхности, мы будем иметь все необходимые условия для изыскания движений, для которых линии пересечения данных поверхностей р1; ра суть динамические линии.Бесконечно тонкий объём, ограниченный бесконечно близко лежащими динамическими линиями, я назову динамической нитью. Воображая себе нить произвольной формы, предполагая, что её частицы не имеют конечных движений, мы можем ставить вопрос о форме движений, при которых энергия не отдавалась бы боковыми частями нити, словом, чтобы нить была динамической нитью. Здесь достаточно знания величины
ps на всём протяжении нити и на её концах. Мы можем также дать ps только для концов нити и величину давления на её боковой поверхности. Наконец, если дана величина ps для каждой точки тела, то вместо рассмотрения явлений в целом теле мы можем ограничиться изучением явлений в динамической нити.Путь, предположенный выше, приводит к выражениям токов довольно сложным. Здесь же я укажу на другой метод, сходный с предыдущим. Я введу особые поверхности —псевдостатические, и особые линии — псевдодинамические.
Параметр псевдостатйческих поверхностей означим буквой р, а псевдодинамические линии — буквой
s, причёмds = ffdf,
(14)Пусть р, р
1( р2 будут параметры ортогональных поверхностей и
— их дифференциальные параметры первого порядка;
R, Rlt R2
суть перемещения частицы упругого тела по нормалям s, slt s2 к поверхностям р, ръ р2.
Уравнения движения частиц упругого тела будут:
Умножая выражения (15) соответственно на скорости частиц R', ri, R'2, на элемент объёма d<a и интегрируя по всему протяжению тела, мы найдём уравнение сохранения энергии во всём теле. Выделяя интеграцией по частям из тройных интегралов, входящих в это уравнение, двойные, относящиеся к поверхности, под-интегральная функция этих последних будет иметь вид:
— (9sdsi ds2 + ?Slds ds2 + p,a dsx ds). (17)
Ортогональные поверхности
p, pj( p2 я определю под тем условием, чтобы pSl, pS2 были нулями. Найдём:
Выражения (18) дают нам возможность раскрыть некоторые общие отношения формы псевдодинамических
линий к форме частичных движений. Умножая выражения (18) соответственно на
Если перемещения не сопровождаются изменением плотности, т. е. если 6 = 0, то, так как
ps по первому соотношению (18) не равно нулю, мы должны иметь по (19) и (20):Д' = 0, А = 0.
Первое из этих условий показывает, что перемещения, совершающиеся по направлению псевдодинамических линий, всегда соединены с изменением плотности. Если плотность
?ie изменяется, то перемещения происходят в плоскостях, касающихся псевдостатических поверхностей. В последнем случае из условий (18) остаётся только одно первое.Второе из условий (21) даёт:
откуда, означая через Ф некоторую функцию от р, рг
, р. и времени,
Следовательно, при
6 = 0 перемещения, совершающиеся по линиям кривизны псевдостатических поверхностей,пропорциональны производным от некоторой функции по соответственным линиям.
Предположим, что по одной из пиний кривизны псевдостатических поверхностей не происходит движения; пусть, например, R'z = 0. Тогда соотношения (19) и (20) дают:
и последнее из соотношений (18) даёт:
H = Hi.
(26)Следовательно, одновременное перемещение по псевдодинамической линии и одной из линий кривизны псевдостатических поверхностей может существовать в том только случае, если дифференциальные параметры первого порядка поверхностей, нормальных к направлению обоих движений, друг другу равны.
(К системам ортогональных поверхностей, выполняющих условие (26), принадлежат, между прочим, криволинейные координаты, употреблённые мною в статье “Уравнения движения энергии в телах”, § 16.)
Если в какой-нибудь момент времени
R'2~0 и Нг не равно H, то для того же момента должно существовать условие:К-К-О А" В
Так как А и В не могут быть бесконечно большими, то
Д' = 0,
R'i=0. (27)Итак, если ортогональная система не удовлетворяет условию (26), скорость движения частицы равна нулю
всякий раз, когда ее слагающая по нормали к поверхности р
2 обращается в нуль.Я разберу подробнее явления движения частиц упругого тела по одной из линий кривизны псевдостатических поверхностей.
Пусть Л = 0 и
/?j = 0; следовательно, существует одно перемещение Rz. Мы находим из выражений (18):д, = ^, А = 0,
6 = 0, (28)
или, обращая внимание на величины А и 6,
Мы должны отыскать величину
R2, удовлетворяющую выражениям (29), (31) и условиям, данным на поверхности упругого тела. Последние мы оставим неопределёнными. Для нас важно открыть условия для вида псевдостатических поверхностей, которые должны вытечь из совместного удовлетворения приведённых выше уравнений. ПустьВ
2 = е^и, (32)где а—постоянное, и есть функция одних координат. Означая через ц> и
u две функции, имеем из (29):
Так как ср есть функция одних
p и р2, то первый член предыдущего выражения не должен зависеть от pj. Мы удовлетворим этому условию, полагая в выражениях (34) и (36)
где ? и
v) суть обозначения функции на — постоянное или функция одного ,-. Следовательно,
Подставляя эти выражения в (37), найдём:
Поэтому условия для системы псевдостатических поверхностей будут:
откуда следует, что дифференциальный параметр первого порядка псевдостатических поверхностей не должен зависеть от параметра той ортогональной поверхности, по нормали к коей нет колебаний, т. е. кривизна этой поверхности по псевдодинамической линии равна нулю. Следовательно, движения по обеим линиям кривизны возможны в том только случае, если
H не зависит ни от рь ни от р2. В этом случае H есть функция одного р, и псевдостатические поверхности суть поверхности волновые (см. статью “Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости”, Математический сборник, т. V).Из (44) находим:
Выражения (43) не должны, очевидно, содержать частного —. Поэтому
где / есть действительный или мнимый коэффициент. Окончательные условия для псевдостатических поверх-
ностей в нашем случае будут, следовательно:
где Ф, т;, ср суть знаки функций, определяемых услсь виями ортогональности.
Вопрос может быть решён в форме более простой в случае волнообразного движения.
Полагая
мы удовлетворим всем условиям, причём функции ср, ср
2, <j> остаются подчинёнными только условиям ортогональности. Здесь H есть функция одного р.Рассмотрим частный случай. Пусть
Hz = hi, из выражений (49) следует, что функции ср2, <]>i не зависят от ра, рг, т. е. суть постоянные. Последнее из выражений (50) принимает вид:
где “) есть скорость распространения поперечных колебаний.
Наши выводы могут быть приложены к случаю сферических псевдостатических поверхностей. Пусть
где р, р
1; р2 суть термометрические параметры сфер, конусов широты и меридиональных плоскостей; г есть радиус сферы, <р—широта, Л—долгота. Кроме того, имеем:Амплитуды колебаний становятся бесконечно большими на полюсах сфер; на экваторе они наименьшие. Выражения (57) могут также представлять колебания, распространяющиеся сферическими волнами между поверхностями двух конусов широты.
Случаи распространения плоскими волнами колебаний, амплитуды коих различны в различных точках волны, решаются весьма просто для плоских ортогональных кривых, коих дифференциальные параметры первого порядка равны.
Вообразим себе в пространстве две бесконечно длинные, друг другу параллельные прямые А и Аг
. Пусть расстояние между ними будет 2а и плоскость ху к ним перпендикулярна. Если одна из этих линий притягивает,а другая отталкивает по закону — , где г есть перпендикулярное расстояние точки т от линии, которая на неё действует, то поверхности равного потенциала будут цилиндры, пересекающиеся под прямым углом с плоскостью ху и дающие в пересечении круги параметра и, уравнения коих представляются формулой (147) статьи “Уравнения движения энергии в телах”.
Ортогональные к ним цилиндрические поверхности с параметром
v дают ,в пересечении с плоскостью ху круги, которые проходят через точки сечения прямых с плоскостью ху.. Уравнения этих кругов представляются формулой (145) упомянутой выше статьи.
Вообразим себе в среде постоянной упругости ортогональную систему, коей параметры суть
В среде может распространяться плоская волна с поперечными колебаниями В.^ и Л
2, которые будут по формуле (54):
Если же прямые А и А^ притягательные, то поверхности равного потенциала будут цилиндры рь ортогональные к плоскости ух и дающие в сечении с нею лемнискаты. Ортогональные к ним поверхности будут цилиндры р
2, проходящие через прямые А в. ai ts. дающие в сечении с плоскостью ух равносторонние гипер^ болы (см. Lame, Lecons sur les coordonees curvilignes), Вообразим себе в среде постоянной упругости ортогональную систему с параметрами
где
S2 имеет то же значение, как выше, и R представляет перпендикулярное расстояние точки т от линии О,лежащей в одной плоскости с линиями А, Аг
и проходящей посередине между ними.В среде возможна плоская волна с колебаниями Нъ
R2, определяемыми по формуле (54):
Амплитуды колебаний (а) и (Ь) становятся бесконечно большими на линиях А, А±. Чтобы избегнуть этого случая, достаточно вообразить себе внутри среды две ограничивающие поверхности в форме двух прямых цилиндров, обнимающих линии А и Аг
.3. Общий тип неопределённых уравнений движения частиц непрерывных сред.
Неопределённые уравнения движения частиц непрерывной среды, на которую не действуют внешние силы, имеют общую форму:
где
X, Y, Z суть суммы производных по координатам от некоторых функций. Умножая эти выражения на скорости частиц и', v', w', на элемент объёма ал и интегрируя по всему объёму, занимаемому средой, мы выделим интеграцией по частям сумму членов, распространяющихся на поверхность среды. Эти члены будут иметь факторами скорости и', v', w', и их сумма представляет не что иное,.как ток энергии д., через элемент поверхности. Следовательно, мы всегда можем представить токи энергии в следующем виде:
Для тел постоянной упругости коэффициенты
L, M, N не зависят от скоростей, и между ними существуют соотношения:Lxa = Msx, LXZ = NXZ, Myz = Naz.
(60)Для тел жидких коэффициенты
L, M, N зависят от скоростей, и между ними существуют соотношения:(
° }Для жидкости с трением
L, M, N зависят от скорости, и между ними существуют соотношения (60).Выражения (59) заключают в себе ещё целый ряд более общих случаев, из коих каждый представляет среду, обладающую известными физическими свойствами.
Составим неопределённые уравнения движения частиц среды, для которой имеют место выражения (59). Найденные нами уравнения будут, очевидно, типом неопределённых уравнений движения непрерывных сред природы.
Выражение закона сохранения энергии для всей среды будет по (59):
где —ЗР есть потенциальная энергия элемента.
Знак ~г в выражениях (58) представляет полную производную по времени; раскрывая эту последнюю
Если перемещения малы, то члены и' — и пр. отпадают, как, например, в случае упругого тела.
Умножая выражения (64) на 8и = и.'
dt, §?; = v'dt, 8w = w"'dt, складывая и интегрируя по всему протяжению тела, находим:
С другой стороны, выражение (62) может быть представлено в виде:
Второй тройной интеграл выражения (67) целиком переходит в двойной интеграл по поверхности:
Отсюда заключаем, что второй тройной интеграл выражения (^8) получается интегрированием по частям выражения
где
S есть часть, приходящаяся на поверхность, а V :есть ,— \ \ \ ÖPdo). Часть — S есть разность двойногоинтеграла выражения (68) и двойного интеграла выражения (69). Следовательно,
p
В случае движений весьма малых члены •—- могут бытьпренебрежены как величины второго порядка.
Найденные выше выражения дают нам возможность изыскивать среду, в которой движение энергии должно подчиняться данным законам.
Я приведу пример такого изыскания. Тепловые явления в телах твёрдых приписываются молекулярным движениям, а следовательно, молекулярным силам. Решим вопрос, возможно ли объяснить явления теплопроводности молекулярными движениями одной непрерывной среды, будет ли эта среда само твёрдое тело или проникающий его эфир?
Плотность энергии в каждой точке среды представляется произведением теплоёмкости при постоянном давлении с на плотность тела
\> и температуру V. Токи энергии суть тепловые токи, и, означая через К коэффициент теплопроводности, имеем для изотропного тела:
Следовательно, в искомой среде токи энергии пропорциональны её производным по соответственным осям. Работа молекулярных сил, когда последние не зависят от скоростей частиц, должна быть полным дифференциалом; следовательно,
L, M, N должны представляться линейными функциями производных первого порядка по координатам от перемещений и, v, w частиц среды. По малости молекулярных тепловых., i2 -.
движении член р — может оыть пренебрсжен относительно
L, М, N. Производная от Э по какой-нибудь координате, например по х, получится, дифференцируя по х живую силу и прибавляя выражение — 8Р, в котором и', г', w' заменены черезгде а, р, у суть постоянные и иг
, Uj, w\ суть функции одних координат. Выражения (75) будут заключать величины ли, $а, ycv, которые исключатся из них при помощи неопределённых уравнений движения (73), в коих левые части, вследствие соотношений (76), будут o?vu, ß2pu> y^tv.
a2,jM, aapu, a2pw
исключатся при помощи неопределённых уравнений, которые будут заключать в себе суммы вторых производных от перемещений по координатам, когда в них будут подставлены величины L, M, N. Обращая внимание на то, что по условию все три направления, принятые за направления осей координат, имеют одинаковые физические свойства и изменение молекулярной работы должно быть полным дифференциалом, мы найдём для L, M, N следующие выражения:
В эти выражения входят одиннадцать постоянных коэффициентов. Выражение (78) и два подобных, соответствующих двум последним выражениям (75), должны тождественно удовлетворяться приведёнными величинами упругих сил. Приравнивая нулю в выражении (78) коэффициенты у вторых производных, не входящих во вторую часть, мы найдём следующие условия, означая через
X, Xt два постоянных:
Первое из соотношений (80) содержит первые производные от перемещений по координатам. Приравнивая в нём нулю коэффициенты при одинаковых производных и обращая внимание на равенства (81), найдём:
Если а
1 не равно нулю, то последнее из этих выражений даст 1 = 0, что невозможно; следовательно, аг и все равные ему коэффициенты суть нули. Вместо одиннадцати коэффициентов мы находим только один а, которому равны а„, Ъ3, Ьв, остальные коэффициенты суть нули.
Поэтому выражения (79) приведутся к форме:
где
h есть дифференциальный параметр первого порядка от функции s.Выражения (86) содержат одно только постоянное и несколько различных производных от
s. Они не могут, следовательно, тождественно удовлетворяться, не давая в то же время условий для движения сверх тех, которые даются неопределёнными уравнениями движения.Этот результат даст нам право сделать заключение, что соотношения (75) даже приблизительно не выполняются одной непрерывной средой. Объяснение тепловых явлений в телах твёрдых мы должны искать в молекулярных движениях по крайней мере двух взаимно проникающихся и воздействующих друг на друга сред.
Такая среда, в которой токи энергии были бы пропорциональны производным от живой силы, возможна.
Выражение (74) будет полным дифференциалом, и токи энергии будут пропорциональны производным от живой силы по соответственным координатам, если
Легко отыскать такие выражения для
L, M, N, при которых о P = 0.Выражения токов энергии, предложенные в статье “Уравнения движения энергии в телах” для некоторых случаев взаимодействия на конечных расстояниях, должны служить исходной точкой при изыскании сред, в которых они были бы возможны. Такое изыскание может быть произведено только при помощи формул настоящего параграфа.
|
|
 |
