Рис. 15. Типовые функции принадлежности
Хороший пример обогащения одной технологии (хранилища данных) другой (нечеткая логика) демонстрируют нечеткие срезы (fuzzy slices). Под ними понимаются фильтры по измерениям, в которых фигурируют нечеткие величины, например «все молодые заемщики с небольшим доходом». В реляционных базах данных эту роль выполняют нечеткие запросы (fuzzy queries, flexible queries), которые впервые предложены в начале 80-х гг. в работах Д. Дюбуа и Г. Прада.
Так как информация в ХД присутствует в четком виде, для использования в фильтрах нечетких понятий нужно предварительно формализовать их, что делается при помощи нечетких множеств, описание которых приводится ниже.
Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.
Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (membership function). Обозначим через μ(x) степень принадлежности элемента x к нечеткому множеству, представляющую собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C = {μ(x)/x}, при этом μ(x) может принимать любые значения в интервале [0, 1], x ∈ X. Значение μ(x) = 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 — полную принадлежность.
Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение «неблагонадежный заемщик». В качестве X (область рассуждений) будет выступать количество случаев просроченной задолженности по кредиту за последние 6 месяцев. Пусть оно изменяется от 0 до 6. Нечеткое множество, определенное экспертом, может выглядеть следующим образом:
C = {0/0; 0,4/1; 0,7/2; 0,9/3; 1/4; 1/5; 1/6}.
Так, заемщик, совершивший две просрочки, принадлежит к множеству «неблагонадежный» со степенью принадлежности 0,7. Для одного банка такое число просрочек может быть крайне существенным, для другого — просто тревожным сигналом. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.
Для переменных, относящихся к непрерывному виду данных, функцию принадлежности удобнее задать аналитической формулой и для наглядности изобразить графически. Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Рассмотрим самые популярные кусочно-линейные: треугольную и трапецеидальную (рис. 15).
Рис. 15. Типовые функции принадлежности
Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a, b, c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:
Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a, b, c, d):
Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми необходимыми для расчетов являются пересечение, объединение и отрицание.
μ(x) = min(μA(x), μB(x)).
μ(x) = max(μA(x), μB(x)).
μ(x) = 1 − μA(x),
где μ(x) — результат операции;
μA(x) — степень принадлежности элемента x к множеству А;
μB(x) — степень принадлежности элемента x к множеству B.
Совокупность нечетких множеств, относящихся к одному объекту, образует лингвистическую переменную. Например, лингвистическая переменная Возраст может принимать значения Молодой, Средний, Пожилой (их еще называют базовым терм-множеством, или термами). Зададим область рассуждений в виде X = {x | 0 < x < 90} (годы). Теперь осталось построить функции принадлежности для каждого терма (рис. 16).
Каждая функция принадлежности описывается четверкой чисел: Молодой = {0; 0; 12; 40}, Средний = {20; 30; 50; 70}, Преклонный = {50; 60; 90; 90}.
Рис. 16. Графическое изображение лингвистической переменной «Возраст»
Лингвистические переменные можно задать для любого измерения, атрибута измерения или факта, значения которого имеют непрерывный вид. Их параметры: названия, терм-множества, параметры функций принадлежности — будут содержаться в семантическом слое хранилища данных (рис. 17).
Рис. 17. Вариант организации хранилища данных с поддержкой нечетких срезов
Результатом выполнения нечеткого среза, помимо самого подмножества ячеек гиперкуба, удовлетворяющих заданным условиям, является индекс соответствия срезу CI ∈ [0, 1]. Он представляет собой итоговую степень принадлежности к нечетким множествам измерений и фактов, участвующих в сечении куба, и рассчитывается для каждой записи набора данных. Чтобы ускорить выполнение запросов к ХД, часто задают верхнюю границу индекса соответствия CI > а. Это позволяет уже на уровне SQL-запроса отсеять записи, которые заведомо не будут удовлетворять минимальному порогу индекса соответствия (рис. 18). На рисунке видно, что элементы нечеткого множества со значениями в интервале [xf, x2] обеспечат степень принадлежности не ниже а.
Рис. 18. Нечеткое множество
Рис. 19. Алгоритм получения нечеткого среза
Алгоритм формирования нечеткого среза иллюстрирует схема (рис. 19). На шаге 1 используется семантический слой хранилища данных. На шаге 3 в результирующий SQL-запрос попадают границы с учетом минимального индекса соответствия а. Шаг 5 предполагает применение нечетких логических операций.
Рассмотрим пример. Пусть в хранилище содержится информация о соискателях вакансий, и срез (четкий) по измерениям Код анкеты, Возраст и Стаж работы обеспечивает следующий набор данных (табл. 4).
Очевидно, что Код анкеты — это служебное поле. Для возраста будем использовать лингвистическую переменную, определенную на рис. 16, а для поля Стаж работы — переменную, определенную на рис. 20. Каждая функция принадлежности описывается числами: Малый = {0; 0; 6}, Продолжительный = {3; 6; 10; 20}, Большой = {15; 25; 40; 40}.
Таблица 4. Срез по измерениям «Возраст» и «Стаж работы»
|
Код анкеты |
Возраст |
Стаж работы |
|
1 |
23 |
4 |
|
2 |
34 |
11 |
|
3 |
31 |
10 |
|
4 |
54 |
36 |
|
5 |
46 |
26 |
|
6 |
38 |
15 |
|
7 |
21 |
1 |
|
8 |
23 |
2 |
|
9 |
30 |
8 |
|
10 |
30 |
12 |
Рис. 20. Графическое изображение лингвистической переменной «Стаж работы»
Сделаем нечеткий срез «Возраст = Средний и Стаж работы = Продолжительный». Например, для анкеты 4 получим:
Аналогично рассчитаем степени принадлежности к итоговому нечеткому множеству для каждого претендента, зададим минимальный индекс соответствия, равный 0,3, и получим результат, показанный в табл. 5.
Таблица 5. Результат нечеткого среза
|
Код анкеты |
Возраст |
Стаж работы |
Индекс соответствия |
|
3 |
31 |
10 |
1 |
|
9 |
30 |
8 |
1 |
|
6 |
38 |
15 |
1 |
|
2 |
34 |
11 |
0,9 |
|
10 |
30 |
12 |
0,8 |
|
8 |
23 |
2 |
0,3 |
|
1 |
23 |
4 |
0,3 |
Нечеткий поиск в хранилищах данных принесет аналитику максимальную пользу в случаях, когда требуется не только извлечь информацию, оперируя нечеткими понятиями, но и каким-то образом проранжировать ее по убыванию (возрастанию) степени релевантности запроса. Это позволит ответить на следующие вопросы: каких клиентов обзвонить в первую очередь, кому сделать рекламное предложение и т.д.
Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
|
|
 |
