Дискретные спектры. Корреляционную функцию Ru(t ) (рис.1.14) стационарного случайного процесса, заданного на конечном интервале времени [-Т, Т], можно разложить в ряд Фурье (1.15), условно считая ее периодически продолжающейся с периодом 4T (при - T<. t1, t2<T, - 2Ф<ф<2Ф):
где
Учитывая, что
Ru(t ) является четной функцией, имеемПоложив ф = t1 - t2
, находимчто согласно (1.89) представляет собой каноническое разложение корреляционной функции. По нему, как было указано ранее, получаем каноническое разложение случайного процесса:
причем
Выражение (1.95) записано для случайного процесса с нулевой постоянной составляющей, что характерно для многих реальных сигналов. В общем случае в правую часть этого выражения необходимо добавить постоянную величину, соответствующую математическому ожиданию случайного процесса (
mu). Корреляционная функция при этом не изменяется.Очевидно, что при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами
k каноническое разложение (1.95) приводится к тригонометрической форме.Таким образом, стационарный случайный процесс на ограниченном интервале времени можно представить совокупностью гармонических составляющих различных частот с амплитудами, являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю:
где
На спектральной диаграмме такого процесса каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна дисперсии ее амплитуды, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте (рис.1.15).
Чтобы получить описание стационарного случайного процесса в точном смысле, т.е. справедливое для любого момента времени на бесконечном интервале -
Непрерывные спектры. Интегральное каноническое разложение для корреляционной функции получим из формулы (1.91) путем предельного перехода при Т
При достаточно большом, но конечном Т можно записать выражение для средней плотности распределения дисперсии по частоте:
S(w
k) = Dk / (
где
SТеперь можно преобразовать формулы (1.94) и (1.98) к виду
Переходя к пределу при Т
где
Так как величина
SВыражение для интегрального канонического разложения корреляционной функции
Ru(t ) найдем, положив в формуле (1.101) ф = t1 - t2:Обозначив
Gгде дисперсией случайной функции
G(w ) dw является функция Suu(w ) dw .Поскольку понятие спектральной плотности стационарного случайного процесса играет большую роль при исследовании преобразования сигналов линейными системами, уточним ее свойства и физический смысл.
Основные свойства спектральной плотности. Отметим, что в формулах (1.101) и (1.102)
Suu(w ) определена как для положительных, так и для отрицательных частот. Перейдем к одностороннему спектру, ограничиваясь только положительными частотами. Воспользовавшись формулой Эйлера, представим соотношение (1.102) состоящим из двух слагаемых:В силу четности функции
Ru(t ) второе слагаемое равно нулю, а первое можно преобразовать к видуИз (1.105) следует, что
Suu(w ) является действительной и четной функцией, т.е.Это позволяет ограничиться положительными частотами и в (1.101):
Соотношения (1 101) и (1.102), а также (1.105) и (1.107) являются парами интегрального преобразования Фурье, причем (1.105) и (1.107) для случая четной функции. Поэтому корреляционная функция и спектральная плотность подчинены закономерности: чем протяженнее кривая
Suu(щ), тем уже корреляционная функция Ru(t ) (тем меньше время корреляции), и наоборот.Площадь, ограниченная непрерывной кривой
Suu(w ) на спектральной диаграмме, очевидно, должна равняться дисперсии Du случайного процесса U(t). Действительно, положив в формуле (1.107) ф = 0, получимПодразумевая под случайным процессом
U(t) напряжение, Du можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на резисторе с сопротивлением в 1 Ом:Следовательно, величина
представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот (щ, щ
+ dw ).В связи с этим спектральную плотность
Suu(w ) называют еще спектральной плотностью мощности, а также энергетическим спектром стационарного случайного процесса, поскольку Suu(w ) имеет размерность энергии.Спектральная плотность мощности случайного процесса является средней характеристикой множества реализаций. Ее можно получить и путем усреднения спектральной мощности реализации Сk(щ) (1.62) по множеству реализаций.
Рассмотрим с этой целью одну реализацию
uВ соответствии с (1.63) спектральная плотность мощности этой реализации
Найдем среднее значение С
или
Так как мы предполагаем, что случайный процесс
U(t) стационарный, тогде
t1 - t2 = ф.При выполнении условия (1.114) для выражения (1.113) существует предел при
Tчто и требовалось показать.
Пример 1.7 У центрированного стационарного случайного процесса спектральная плотность постоянна. Рассмотреть особенности такого процесса.
Пусть спектральная плотность
Suu(щ) ограничена определенной полосой частот (рис.1.16, а):В соответствии с (1.107) найдем автокорреляционную функцию процесса
U(t):Вид функции
Ru(t ) приведен на рис.1.16,6. Значение ее при ф = 0 равно дисперсии, а следовательно, средней мощности рассматриваемого процесса:Будем теперь расширять полосу частот, занимаемую энергетическим спектром (рис.1.17, а). Интервал времени, на котором наблюдается существенная корреляционная связь значений процесса, при этом уменьшается, а дисперсия
Du возрастает.При w
0Идеализированный случайный процесс, энергетический спектр которого безграничен и равномерен, известен как "белый шум". Такое название возникло по аналогии с белым светом, имеющим равномерный и неограниченный спектр интенсивности. Основная особенность процесса в том, что его значения в любые два сколь угодно близкие моменты времени некоррелированы. Создать белый шум принципиально невозможно, так как реальные источники сигналов всегда имеют ограниченную мощность. Тем не менее, понятие "белый шум
" нашло широкое применение в информационной технике. Такая модель может быть принята, например, для сигналов (шумов), имеющих равномерный энергетический спектр в пределах полосы пропускания входного блока системы, в которой они рассматриваются.Иногда говорят о "реальном белом шуме", подразумевая стационарный случайный процесс с равномерным энергетическим спектром в пределах конечной, но достаточно широкой полосы частот.
Пример 1.8 Определить спектральную плотность мощности случайного процесса с линейно убывающей нормированной функцией автокорреляции (рис.1.18).
Аналитическое выражение нормированной корреляционной функции запишем в виде
Воспользовавшись соотношением (1.105) при р„ (0) = 1, получим
Раскрывая по правилу Лопиталя неопределенность выражения (1.119) при щ = 0, найдем
Несложный дополнительный анализ дает возможность определить форму кривой
Suu(w ) (рис.1. 19).Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.
Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.
Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.
Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.
|
![]() |