Операторный метод расчета переходных процессов

Анализ переходных процессов даже для относительно простых цепей зачастую представляет значительные сложности, т.к. требует решения дифференциальных уравнений. Задачу можно существенно упростить, если преобразовать уравнения, сделав их алгебраическими. Но в переходных процессах во всех функциях переменной величиной является время, поэтому для исключения производных требуется перейти к новой не зависящей от времени переменной. Такой переход для функции f(t) можно осуществить, например, с помощью преобразования Лапласа

где p = a + jb - некоторое комплексное число, являющееся переменной функции F(p).

Функция времени f(t) называется оригиналом, а функция комплексной переменной F(p) - ее изображением.

где интеграл вычисляется по прямой на плоскости комплексной переменной p, проходящей параллельно мнимой оси правее всех особых точек функции F(p).

Переход от изображения к оригиналу функции может быть выполнен также с помощью формулы разложения.

Обычно изображение искомой величины F(p) получают (или его можно представить) в виде рациональной дроби

Это выражение при условии, что n < m и знаменатель не имеет кратных корней, можно разложить на сумму простых дробей

Определим постоянные A_k. Для этого обе части выражения (4) умножим на (p - p₁)

При p = p₁ правая часть выражения (5) равна A₁, а левая становится неопределенной, т.к. F₂(p₁) = 0. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

Следовательно, каждая постоянная в выражении (4) представляет собой отношение числителя исходной дроби к производной от знаменателя при подстановке в них соответствующего корня уравнения F₂(p) = 0. Отсюда

Оригинал функции F(p) можно найти из выражения (7). В нем каждое слагаемое представляет некоторый постоянный коэффициент F₁(p_k)/F₂^'(p_k), умноженный на функцию 1/( p - p_k), оригиналом которой (см. таблицу 1) является e^pkt. Таким образом

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между падениями напряжения в замкнутом контуре электрической цепи и ЭДС, действующими в этом контуре. По форме он представляет собой сумму этих величин и, следовательно, может быть линейно преобразован по Лапласу в виде

где q и w - соответственно число индуктивностей и емкостей в контуре с ненулевыми начальными значениями. Выражение второго закона Кирхгофа для изображений отличается от записи для оригиналов наличием дополнительных ЭДС, соответствующих начальным значениям токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Если же применять этот закон к операторной схеме замещения, где начальные значения учтены источниками ЭДС, то формально составление уравнений будет полностью аналогично области оригиналов, только число источников будет больше на число ненулевых начальных значений.

Найдем токи протекающие в электрической цепи рис. 2 а) после замыкания ключа, если E = 100 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 5 Ом, L = 100 мГн , C = 10 мкФ и в момент коммутации емкость была полностью разряжена.

Так как до замыкания ключа S ток в индуктивности и напряжение на емкости были равны нулю, то в операторной схеме замещения не будет источников ЭДС, соответствующих начальным значениям, и она будет иметь вид, представленный на рис. 2 б).

где b₂ = R₁LC; b₁ = L+R₁R₂C; b₀ = R₁+R₂; a₂ = LC; a₁ = R₂C.

при данных задачи равные p₁ = - 261 и p₂ = - 4789. Таким образом, переходный процесс в цепи апериодический и будет продолжаться 3t ₁ = 3/261 = 11.5 мс.

Для определения оригинала тока воспользуемся выражением (9). Тогда ток i₁ будет

где Z₂(p) = R₂+pL и Z₃(p) = 1/(pC) операторные сопротивления соответствующих ветвей. Подставив выражение для I₁(p), получим изображение I₃(p)

Ток в индуктивности проще всего найти, воспользовавшись первым законом Кирхгофа

Таким образом, ток в емкости i₃ в момент коммутации скачком возрастает от гуля до 5.0 А, а затем апериодически спадает до нуля. Ток в индуктивности i₂ в момент коммутации равен нулю и далее монотонно возрастает до установившегося значения, равного 4.0 А. Входной ток после замыкания ключа скачком возрастает до 5.0 А и со временем снижается до 4.0 А.

Знаете ли Вы, почему "черные дыры" - фикция?
Согласно релятивистской мифологии, "чёрная дыра - это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света (в том числе и кванты самого света). Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер - гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда".
На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне - пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли.
Отсюда родились сказки о "радиусе Шварцшильда", "черных дырах Хокинга" и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма.
Впрочем, эти сказки несколько древнее. В 1795 году математик Пьер Симон Лаплас писал:
"Если бы диаметр светящейся звезды с той же плотностью, что и Земля, в 250 раз превосходил бы диаметр Солнца, то вследствие притяжения звезды ни один из испущенных ею лучей не смог бы дойти до нас; следовательно, не исключено, что самые большие из светящихся тел по этой причине являются невидимыми." [цитата по Брагинский В.Б., Полнарёв А. Г. Удивительная гравитация. - М., Наука, 1985]
Однако, как выяснилось в 20-м веке, фотон не обладает массой и не может взаимодействовать с гравитационным полем как весомое вещество. Фотон - это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс. А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. (сравните с аналогами: движение воды, движение воздуха, колебания почвы). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
C	C/p	t	1/p²

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
Af(t)	AF(p)

Оригинал		Изображение
	u = Ri		U(p) = RI(p)
			U(p) = pLI(p)- Li(0)