к оглавлению

Качественный анализ переходных процессов

Если в электрической цепи переходный режим завершается установившимся и до коммутации цепь также находилась в установившемся режиме, то полное представление о переходе от одного режима к другому может дать качественный анализ. Качественный анализ может быть полезен и тогда, когда коммутация цепи наступает до окончания переходного процесса.

Состояние цепи до коммутации и после окончания переходного процесса можно определить расчетом токов и напряжений с помощью методов анализа электрический цепей в установившемся режиме. В момент коммутации токи в индуктивностях и напряжения на емкостях сохраняют свое значение, а все остальные величины могут изменяться скачкообразно. При этом безусловно должны соблюдаться законы Кирхгофа, что позволяет определить значения всех величин в момент времени непосредственно следующий за коммутацией также методами расчета установившихся режимов. В результате, не прибегая к анализу дифференциальных уравнений, можно для всех токов и напряжений цепи указать значения в момент времени предшествующий коммутации, непосредственно следующий за ней, а также их значения после окончания переходного процесса. Собственно переходный процесс (его длительность и характер) также можно определить без получения полного решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим установившиеся режимы в цепи рис. 1 до и после коммутации ключа S (рис. 1). Для этой цепи до замыкания ключа ( t = 0- ) можно составить уравнения Кирхгофа в виде

i1 = i2 + i3 ;

uR1 + uR2 + uL = E = i1R1 + i2R2 + uL ;

uR3 + uC = uR2 + uL .

Но в установившемся режиме до коммутации производные по времени от токов и напряжений при E = const равны нулю, поэтому i3 = CduC/dt = 0; uR3 = i3R3 = 0 и uL = Ldi2/dt = 0. Поэтому i1 = i2 и из второго уравнения i1 = i2 = E/(R1 + R2). Соответственно uR1 = i1R1 = ER1/(R1 + R2) и uR2 = i2R2 = ER2/(R1 + R2), а из третьего уравнения uC = uR2.

Для послекоммутационного состояния цепи справедливы выражения

i1 = i2 + i3 ;

uR2 + uL = E = i2R2 + uL ;

uR3 + uC = uR2 + uL .

В установившемся режиме ( t = µ ), также как в докоммутационном интервале времени, i3 = CduC/dt = 0; uR3 = i3R3 = 0 и uL = Ldi2/dt = 0. Поэтому из второго и третьего уравнений uR2 = E = uC , а i1 = i2 = E/R2.

В момент времени непосредственно после коммутации ( t = 0+ ) i2(0+) = iL = i2(0- ) = E/(R1 + R2) и uC(0+) = uC(0- ) = ER2/(R1 + R2) . Отсюда uR2 = i2R2 = ER2/(R1 + R2). Тогда из второго уравнения uL = E - uR2 = ER1/(R1 + R2), а из третьего - uR3 = uR2 + uL - uC = ER1/(R1 + R2) = uL = i3R3 Ю i3 = ER1/[(R1 + R2)R3]. Ток на входе цепи из первого уравнения будет i1 = i2 + i3 = E(R1+ R3)/[(R1 + R2)R3]

Для наглядности результаты проведенного анализа сведены в таблицу 

Величина

t = 0-

t = 0+

D (0)

t = µ

i1

E/(R1 + R2)

E(R1+R3)/[(R1+R2)R3]

ER1/[(R1 + R2)R3]

E/R2

i2

E/(R1 + R2)

E/(R1 + R2)

0

E/R2

i3

0

ER1/[(R1 + R2)R3]

ER1/[(R1 + R2)R3]

0

uR1

ER1/(R1 + R2)

0

- ER1/(R1 + R2)

0

uR2

ER2/(R1 + R2)

ER2/(R1 + R2)

0

E

uR3

0

ER1/(R1 + R2)

ER1/(R1 + R2)

0

uL

0

ER1/(R1 + R2)

ER1/(R1 + R2)

0

uC

ER2/(R1 + R2)

ER2/(R1 + R2)

0

E

Таким образом, при коммутации сохраняют свои значения (D (0)=0) только i2, uR2 и uC. Остальные величины скачкообразно изменяют свои значения. Причем для приращений токов D (0), как и для установившихся значений, соблюдается закон Кирхгофа D i1 = D i2 + D i3. Соблюдается он и для приращений напряжений

D uR1 + D uR2 + D uL = 0 ;

D uR3 + D uC = D uR2 + D uL.

Во втором контуре (L-C) при коммутации скачки напряжения на L и R3 взаимно компенсируют друг друга так, что uC сохраняется постоянным.


Характер и длительность переходного процесса полностью определяются корнями характеристического уравнения цепи. В свою очередь, корни характеристического уравнения зависят только от параметров пассивных элементов цепи и не зависят от действующих в ней источников электрической энергии, представленных как в явной форме, так и в форме накопленной энергии электрических и магнитных полей.

Характеристическое уравнение можно получить из схемы электрической цепи после коммутации, в которой все источники энергии заменены на эквивалентные сопротивления (источники ЭДС - перемычкой, а источники тока - разрывом цепи). Для этого нужно:

Решим задачу обоими способами для цепи рис. 2 а). После замены источника она приобретет вид рис. 2 б) и система уравнений Кирхгофа для такой цепи будет

Ток i3 из первого уравнения можно представить разностью i3 = i1 - i2. Но из второго уравнения , поэтому

.

Подставим это выражение в третье уравнение, проинтегрируем и возьмем производную. Тогда мы получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока i2 в виде

.

Заменив производные на pk, получим характеристическое уравнение

(1)

Теперь мысленно произведем разрыв в точке, помеченной знаком (х) на рис. 2 б), и запишем выражение для комплексного сопротивления цепи относительно точек разрыва

.

Заменив в этом выражении jw на p и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение

(2)

в точности совпадающее с (1).


Характеристическое уравнение позволяет получить качественное представление о переходном процессе в цепи. Количество корней уравнения в общем случае равно его порядку, а порядок уравнения определяется количеством независимых реактивных элементов электрической цепи. Теоретически порядок уравнения может быть любым, но на практике аналитическое решение уравнения выше четвертого порядка невозможно. В этом случае нужно либо упростить цепь, либо получить численное решение. Совокупность корней характеристического уравнения называется спектром корней.

Корни характеристического уравнения пассивной электрической цепи могут быть только либо вещественными числами, либо комплексно-сопряженными. Вещественная часть комплексно-сопряженных корней или вещественные корни определяют скорость изменения экспонент, образующих решение дифференциального уравнения для свободной составляющей. Если в цепи нет скрытых источников энергии, то запас ее в электрических и магнитных полях на момент коммутации должен со временем рассеяться, превратившись в тепло в резистивных элементах. В математическом выражении это означает, что значения всех экспонент составляющих решение со временем должны уменьшаться, а для этого вещественная часть их показателей должна быть отрицательной. Следовательно, отрицательными должны быть вещественные корни характеристического уравнения и отрицательной должна быть вещественная часть комплексно-сопряженных корней.

Каждый вещественный корень спектра (исключая кратные корни) соответствует экспоненте, уменьшающейся со временем до нуля. Каждая пара комплексно-сопряженных корней - переменной синусоидальной составляющей, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону с затуханием, определяемым вещественной частью корней, а частота колебаний соответствует их мнимой составляющей.

Скорость изменения каждой входящей в решение экспоненты обратно пропорциональна постоянной времени t . Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходит затухание. Очевидно, что процесс закончится только после затухания экспоненты с самой большой t . В технике принято считать переходный процесс завершившимся, если отклонение не превышает 5% от установившегося значения. Для экспоненты это состояние наступает при t = 3t . Все сказанное означает, что для определения длительности переходного процесса нужно найти значение самой большой постоянной времени. Для этого достаточно выбрать из спектра корень pk с самой малой по абсолютному значению вещественной частью (включая и вещественные корни) и взять обратную величину, т.е. t max= 1/|Re[pk]| .

Отсутствие в цепи реактивных элементов означает отсутствие запаса энергии в полях в любой момент времени. Поэтому в такой цепи переходный процесс отсутствует и установившийся режим наступает сразу после коммутации. Наоборот, отсутствие резистивных элементов не позволяет преобразовать энергию электрического и магнитного поля в тепло и переходный процесс будет продолжаться бесконечно. Такой переходный процесс называется незатухающим. Он может быть только колебательным и спектр корней характеристического уравнения должен иметь пару комплексно-сопряженных чисел с нулевой вещественной частью.

к оглавлению


Знаете ли Вы, почему "черные дыры" - фикция?
Согласно релятивистской мифологии, "чёрная дыра - это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света (в том числе и кванты самого света). Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер - гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда".
На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне - пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли.
Отсюда родились сказки о "радиусе Шварцшильда", "черных дырах Хокинга" и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма.
Впрочем, эти сказки несколько древнее. В 1795 году математик Пьер Симон Лаплас писал:
"Если бы диаметр светящейся звезды с той же плотностью, что и Земля, в 250 раз превосходил бы диаметр Солнца, то вследствие притяжения звезды ни один из испущенных ею лучей не смог бы дойти до нас; следовательно, не исключено, что самые большие из светящихся тел по этой причине являются невидимыми." [цитата по Брагинский В.Б., Полнарёв А. Г. Удивительная гравитация. - М., Наука, 1985]
Однако, как выяснилось в 20-м веке, фотон не обладает массой и не может взаимодействовать с гравитационным полем как весомое вещество. Фотон - это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс. А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. (сравните с аналогами: движение воды, движение воздуха, колебания почвы). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 18.09.2020 - 18:45: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 18:44: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 18:38: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 18:29: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биохимия мозга от проф. С.В. Савельева и не только - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 12:00: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 04:22: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 04:17: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 04:13: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 04:12: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Владимира Васильевича Квачкова - Карим_Хайдаров.
18.09.2020 - 04:05: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
17.09.2020 - 06:56: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
17.09.2020 - 06:55: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от проф. В.Ю. Катасонова - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution