Качественный анализ переходных процессов

Рассмотрим установившиеся режимы в цепи рис. 1 до и после коммутации ключа S (рис. 1). Для этой цепи до замыкания ключа ( t = 0- ) можно составить уравнения Кирхгофа в виде

Но в установившемся режиме до коммутации производные по времени от токов и напряжений при E = const равны нулю, поэтому i₃ = Cdu_C/dt = 0; u_R3 = i₃R₃ = 0 и u_L = Ldi₂/dt = 0. Поэтому i₁ = i₂ и из второго уравнения i₁ = i₂ = E/(R₁ + R₂). Соответственно u_R1 = i₁R₁ = ER₁/(R₁ + R₂) и u_R2 = i₂R₂= ER₂/(R₁ + R₂), а из третьего уравнения u_C = u_R2.

В установившемся режиме ( t = µ ), также как в докоммутационном интервале времени, i₃ = Cdu_C/dt = 0; u_R3 = i₃R₃ = 0 и u_L = Ldi₂/dt = 0. Поэтому из второго и третьего уравнений u_R2 = E = u_C , а i₁ = i₂ = E/R₂.

В момент времени непосредственно после коммутации ( t = 0₊ ) i₂(0₊) = i_L = i₂(0- ) = E/(R₁ + R₂) и u_C(0₊) = u_C(0- ) = ER₂/(R₁ + R₂) . Отсюда u_R2 = i₂R₂= ER₂/(R₁ + R₂). Тогда из второго уравнения u_L = E - u_R2 = ER₁/(R₁ + R₂), а из третьего - u_R3 = u_R2 + u_L - u_C = ER₁/(R₁ + R₂) = u_L = i₃R₃Ю i₃ = ER₁/[(R₁ + R₂)R₃]. Ток на входе цепи из первого уравнения будет i₁ = i₂ + i₃ = E(R₁+ R₃)/[(R₁ + R₂)R₃]

Таким образом, при коммутации сохраняют свои значения (D (0)=0) только i₂, u_R2 и u_C. Остальные величины скачкообразно изменяют свои значения. Причем для приращений токов D (0), как и для установившихся значений, соблюдается закон Кирхгофа D i₁ = D i₂ + D i₃. Соблюдается он и для приращений напряжений

Во втором контуре (L-C) при коммутации скачки напряжения на L и R₃ взаимно компенсируют друг друга так, что u_C сохраняется постоянным.

Ток i₃ из первого уравнения можно представить разностью i₃ = i₁ - i₂. Но из второго уравнения

, поэтому

Подставим это выражение в третье уравнение, проинтегрируем и возьмем производную. Тогда мы получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока i₂ в виде

Заменив производные на p^k, получим характеристическое уравнение

Заменив в этом выражении jw на p и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение позволяет получить качественное представление о переходном процессе в цепи. Количество корней уравнения в общем случае равно его порядку, а порядок уравнения определяется количеством независимых реактивных элементов электрической цепи. Теоретически порядок уравнения может быть любым, но на практике аналитическое решение уравнения выше четвертого порядка невозможно. В этом случае нужно либо упростить цепь, либо получить численное решение. Совокупность корней характеристического уравнения называется спектром корней.

Корни характеристического уравнения пассивной электрической цепи могут быть только либо вещественными числами, либо комплексно-сопряженными. Вещественная часть комплексно-сопряженных корней или вещественные корни определяют скорость изменения экспонент, образующих решение дифференциального уравнения для свободной составляющей. Если в цепи нет скрытых источников энергии, то запас ее в электрических и магнитных полях на момент коммутации должен со временем рассеяться, превратившись в тепло в резистивных элементах. В математическом выражении это означает, что значения всех экспонент составляющих решение со временем должны уменьшаться, а для этого вещественная часть их показателей должна быть отрицательной. Следовательно, отрицательными должны быть вещественные корни характеристического уравнения и отрицательной должна быть вещественная часть комплексно-сопряженных корней.

Скорость изменения каждой входящей в решение экспоненты обратно пропорциональна постоянной времени t . Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходит затухание. Очевидно, что процесс закончится только после затухания экспоненты с самой большой t . В технике принято считать переходный процесс завершившимся, если отклонение не превышает 5% от установившегося значения. Для экспоненты это состояние наступает при t = 3t . Все сказанное означает, что для определения длительности переходного процесса нужно найти значение самой большой постоянной времени. Для этого достаточно выбрать из спектра корень p_k с самой малой по абсолютному значению вещественной частью (включая и вещественные корни) и взять обратную величину, т.е. t _max= 1/|Re[p_k]| .

Отсутствие в цепи реактивных элементов означает отсутствие запаса энергии в полях в любой момент времени. Поэтому в такой цепи переходный процесс отсутствует и установившийся режим наступает сразу после коммутации. Наоборот, отсутствие резистивных элементов не позволяет преобразовать энергию электрического и магнитного поля в тепло и переходный процесс будет продолжаться бесконечно. Такой переходный процесс называется незатухающим. Он может быть только колебательным и спектр корней характеристического уравнения должен иметь пару комплексно-сопряженных чисел с нулевой вещественной частью.

Знаете ли Вы, низкочастотные электромагнитные волны частотой менее 100 КГц коренным образом отличаются от более высоких частот падением скорости электромагнитных волн пропорционально корню квадратному их частоты от 300 тыс. км/с при 100 кГц до примерно 7 тыс км/с при 50 Гц.

Величина	t = 0-	t = 0₊	D (0)	t = µ
i₁	E/(R₁ + R₂)	E(R₁+R₃)/[(R₁+R₂)R₃]	ER₁/[(R₁ + R₂)R₃]	E/R₂
i₂	E/(R₁ + R₂)	E/(R₁ + R₂)	0	E/R₂
i₃	0	ER₁/[(R₁ + R₂)R₃]	ER₁/[(R₁ + R₂)R₃]	0
u_R1	ER₁/(R₁ + R₂)	0	- ER₁/(R₁ + R₂)	0
u_R2	ER₂/(R₁ + R₂)	ER₂/(R₁ + R₂)	0	E
u_R3	0	ER₁/(R₁ + R₂)	ER₁/(R₁ + R₂)	0
u_L	0	ER₁/(R₁ + R₂)	ER₁/(R₁ + R₂)	0
u_C	ER₂/(R₁ + R₂)	ER₂/(R₁ + R₂)	0	E