Минимизация булевых функций

Аналитические методы минимизации

Используя законы булевой алгебры, можно получить для одной и той же логической функции множество эквивалентных представлений. Чем проще аналитическое выражение функции, тем экономичнее и проще ее практическая реализация на интегральных микросхемах. Сложность булевой функции определяется ее рангом, т.е. количеством переменных в ее конъюнктивных или дизъюнктивных членах.

Представление булевой функции в Сов ДНФ в большинстве случаев не является минимальным.

Используя операции поглощения и склеивания, его можно существенно упростить. Часто используется неполное склеивание, при котором оба члена, участвовавших в склеивании (или один из них), могут повторно склеиваться с другими оставшимися членами Сов ДНФ.

В процессе минимизации важно отыскать смежные конституенты, которые отличаются только одним аргументом (в одну конституенту аргумент входит с инверсией, а в другую – без нее).

Две смежные конституенты, склеиваясь, образуют импликанту рангом на единицу ниже, чем исходные конституенты.

Используя, например, неполное склеивание последней коституенты в Сов ДНФ функции F₁ последовательно с остальными, приходим к следующему выражению:

Процесс многоступенчатого склеивания приводит к импликантам, которые не склеиваются с другими. Такие импликанты называют простыми. Форма записи булевой функции в ДНФ, состоящая только из простых импликант, называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой (Сокр ДНФ).

В некоторых случаях в Сокр ДНФ могут содержаться лишние импликанты, которые могут быть исключены без изменения значения функции.

Одним из методов отыскания лишних импликант является метод испытания членов: чтобы испытать некоторый член функции, следует исключить его из Сокр ДНФ и подставить в оставшееся выражение такие значения аргументов, которые обращают исключенный член в единицу. Если при такой подстановке оставшееся выражение окажется тождественно равным единице, то испытуемый член является лишним.

Найдем для примера тупиковую форму Сокр ДНФ

Испытаем член AC. AC = 1, если A = 1 и C = 1. Подставим в оставшееся выражение A = 1 и C = 1, получим

При B = 0 F(A, B, C) = 1·1 Ъ 0·0 = 1, но при F(A, B, C) = 0·1 Ъ 0·0 = 0. Следовательно, член AC не лишний.

Испытаем член BC, равный 1 при B = 0, C = 1. При этом

Последнее выражение равно 1 как при A = 1, так и при A = 0. Поэтому член – лишний.

Испытание члена по этой же методике показывает, что он не является лишним, в итоге тупиковая форма исходной функции имеет вид:

Минимизация булевых функций с помощью карт Карно

Для минимизации функций относительно небольшого числа переменной (не более шести) наиболее простым и наглядным является графический метод, использующий карты Карно.

Карта Карно – это прямоугольник, разбитый на квадраты, число которых равно числу наборов рассматриваемой функции, т. е. 2ⁿ. Клетки размечаются так, чтобы наборы, для которых возможны смежные конституенты, оказались бы в соседних клетках.

При заполнении карты Карно в ее клетки проставляют значения функции для соответствующих наборов, которые являются координатами клеток. Например, для функции двух переменных А и В (рис. 5) карта Карно имеет вид

Единицы, представленные в клетках, обозначают конституенты единицы рассматриваемой функции. Отыскание минимальной ее формы сводится к определению варианта, при котором все конституенты единицы накрываются (охватываются контурами покрытия) наименьшим числом наиболее коротких импликант. Объединение клеток на карте эквивалентно выполнению операции склеивания.

Всегда нужно стремиться к минимальному количеству контуров и максимальной площади каждого из них, руководствуясь следующими правилами:

площадь контура покрытия должна быть S_k = 2^m-i клеток, где – целое число, m – число переменных. Если, например, m = 3, то S_k = 1, 2, 4, или 8 клеток;

число сокращаемых переменных N_перем. = log₂ S_k , т.е. при S_k = 1 не сокращается ни одна переменная, при S_k = 2 сокращается одна переменная и т.д.

В примере на рис. 5 пара единиц верхней строки охватывается импликантой Ā (т.е. обе клетки ) имеют общий аргумент Ā). Пара единиц правого столбца накрывается импликантой B, как общей для обеих клеток. Следовательно, минимальная ДНФ функции F(A,B) = Ā Ъ B.

Если имеется несколько вариантов объединения конституент контурами, то можно получить несколько различных эквивалентных минимальных ДНФ функции, одна из которых выбирается для реализации в цифровом устройстве.

Карту Карно удобно использовать и для минимизации функций, заданных в алгебраической форме, например,

Карта Карно, состоящая из 2³ = 8 клеток, может быть размечена, как показано на рис. 6.

При охвате единиц контурами склеивания карту Карно можно сворачивать в цилиндр, как вдоль горизон-тальной, так и вертикальной оси. В результате все четыре единицы, расположенные в углах Карты, охватываются контуром с общей импликан-той . Такой минимизации соответствует выражение

Минимизация недоопределенных функций

Недоопределенность функции означает, что запрещенные наборы никогда не появятся в процессе работы устройства. Значит, такую функцию можно произвольно доопределить, установив ее значения на запрещенных наборах, и это не отразится на работе устройства, но обчит его реализацию.

Пусть необходимо минимизировать булеву функцию, заданную картой Карно (рис. 7).

Если группировать единицы в контурах только по исходному заданию (рис. 7, а), то минимальная форма функции будет иметь вид:

После доопределения функции (рис. 7, б), ее минимальная ДНФ (заметим, что это будет уже другая полностью определенная функция j ) оказывается предельно простой

Функция j , значения которой совпадают со значениями заданной функции F на тех наборах, где F определена, называется эквивалентной.

Таким образом, задача минимизации недоопределенной функции сводится к отысканию такой эквивалентной функции, которая имеет простейшую форму.

При синтезе комбинационных схем всегда возникает вопрос выявления опасных состязаний. С этой целью на практике пользуются простым и удобным формальный критерием Хаффмена: статические опасные состязания в устройстве с минимизированной структурой могут иметь место, если на карте Карно при охвате соседних клеток контурами склеивания окажутся хотя бы две соседние клетки, не покрытые контуром.

Поэтому устранение опасных состязаний достигается возвращением импликант, которые оказались лишними при переходе от сокращенной к тупиковой ДНФ.

к оглавлению

Знаете ли Вы, что релятивистское объяснение феномену CMB (космическому микроволновому излучению) придумал человек выдающейся фантазии Иосиф Шкловский (помните книжку миллионного тиража "Вселенная, жизнь, разум"?). Он выдвинул совершенно абсурдную идею, заключавшуюся в том, что это есть "реликтовое" излучение, оставшееся после "Большого Взрыва", то есть от момента "рождения" Вселенной. Хотя из простой логики следует, что Вселенная есть всё, а значит, у нее нет ни начала, ни конца... Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Рыцари теории эфира