к оглавлению

Основные теоремы и положения алгебры логики

Принцип двойственности

Запишем алгоритм выполнения операций ИЛИ и И, расположив строки таблицы для операции И в обратном порядке – снизу вверх:

Или

0 \/ 0 = 0

0 \/ 1 = 1

1 \/ 0 = 1

1 \/ 1 = 1

И

1 · 1 = 1

1 · 0 = 0

0 · 1 = 0

0 · 0 = 0

Если в этих таблицах переменные заменить их инверсиями, а знаки дизъюнкции на знаки конъюнкции и наоборот, то алгоритмы меняются местами. Таблица истинности для ИЛИ становится таблицей истинности для И и наоборот.

В этом состоит принцип двойственности, который в общем виде записывается так:

, .

Для любого числа переменных это правило, называемое еще теоремой де Моргана, имеет вид:

.

На практике принцип двойственности приводит к тому, что логический элемент, выполняющий в положительной логике операцию И, в случае отрицательной логики будет выполнять операцию ИЛИ.

Для преобразования выражений алгебры логики с целью их упрощения или приведения к удобному виду используются, как и в обычной алгебре, скобки, а если их нет, то сначала выполняется отрицание (инверсия) над отдельными переменными, затем логическое умножение (конъюнкция), затем логическое сложение (дизъюнкция). Если же знак инверсии расположен над целым выражением, то она выполняется в последнюю очередь.

В алгебре логики используется целый ряд теорем.

Теоремы для одной переменной:

A \/ 0 = A           4. A \/ Ā = 1         7. A · A = A

2. A \/ 1 = 1           5. A · 0 = 0         8. A · Ā = 0

3. A \/ A = A           6. A · 1 = 1         9.

Теоремы для двух и более переменных:

10. а) A \/ B = B \/ A,         б) AB = BA

переместительный закон, означает, что все входы логического элемента равнозначны.

11. а) A \/ B \/ C = A \/ (B \/ C) = (A \/ B) \/ C,

б) ABC = A(BC) = (AB)C – сочетательный закон.

12. а) A (B \/ C) = AB \/ AC, б) A \/ BC = (A \/ B)(A \/ C) – распределительный закон.

Данная теорема и все последующие вытекают из принципа двойственности. Применим его к выражению 12, а:

– левая часть,

– правая часть.

Введя новые обозначения: , получим обозначения: , а это и есть теорема 12, б.

13. а) A \/ AB = A, б) A(A \/ B) = A

– закон поглощения (A поглощает B).

Доказательство 13, а:

A \/ AB = A(1 \/ B) = A · 1 = A, (используя теоремы 2, 6).

Теорема 13, б следует из принципа двойственности.

14. а) , б) .

Доказательство 14.а:

, (используя теоремы 8 и 1).

Теорема 14, б следует из принципа двойственности.

15. а) AB \/ ĀB = B, į) (A \/ B)(Ā \/ B) = B, закон склеивания (склеивание по A).

Доказательство 15, а:

AB \/ ĀB = B(A \/ Ā) = B · 1 = B, (используя теоремы 4 и 6).

Теорема 15, б следует из принципа двойственности.

к оглавлению


Знаете ли Вы, что, как и всякая идолопоклонническая религия, релятивизм представляет собой инструмент идеологического подчинения одних людей другим с помощью абсолютно бессовестной манипуляции их психикой для достижения интересов определенных групп людей, стоящих у руля этой воровской машины? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА

Форум Рыцари теории эфира


Рыцари теории эфира
 23.11.2020 - 09:52: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
23.11.2020 - 09:51: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
23.11.2020 - 09:51: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
22.11.2020 - 18:34: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
22.11.2020 - 18:33: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Владимира Николаевича Боглаева - Карим_Хайдаров.
22.11.2020 - 17:42: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
22.11.2020 - 17:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Александра Флоридского - Карим_Хайдаров.
22.11.2020 - 16:31: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
21.11.2020 - 23:42: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> КОЛЛАПС МИРОВОЙ ФИНАНСОВОЙ СИСТЕМЫ - Карим_Хайдаров.
21.11.2020 - 21:05: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
21.11.2020 - 21:04: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от проф. В.Ю. Катасонова - Карим_Хайдаров.
21.11.2020 - 18:49: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution