Интуитивный математик

На правом берегу Сены, поблизости от дворца Альма вознеслось квадратное, тяжелое здание с широкими окнами, отделанными массивными украшениями. Крышей ему служит просторная терраса, на которой укреплены позолоченные мачты с развевающимися на них флагами. Это Дворец конгрессов при Всемирной парижской выставке 1900 года, самой грандиозной и великолепной из всех всемирных выставок. Здесь обычно происходят торжественные открытия многочисленных (свыше ста) международных конгрессов по самым различным вопросам, которые собираются в Париже с начала лета поочередно и по нескольку одновременно. Уже на следующий день после окончания работы философского конгресса состоялось открытие математического конгресса.

На фоне проходившего в это же время многолюдного и шумного конгресса студентов всеобщий съезд математиков выглядел весьма скромно и не привлек внимания широкой прессы. Это был уже второй Международный математический конгресс. Первый состоялся еще в 1897 году в Цюрихе (Швейцария) и собрал около 240 участников из 16 стран. Пуанкаре выступил на нем с докладом “О соотношении между чистым анализом и математической физикой”, который произвел тогда большое впечатление. Конгресс показался многим настолько удачным, что участники его поручили Французскому математическому обществу организовать через некоторое время второй конгресс математиков в Париже. Организационный комитет возглавили два авторитетнейших представителя французских математических кругов: Г. Дарбу и А. Пуанкаре. Второму Международному математическому конгрессу предстояло на деле показать, возможны ли периодические съезды математиков разных стран или же цюрихский эксперимент оказался лишь счастливым исключением и в математическом мире действуют неодолимые центробежные силы.

Далеко не все верили в успех этого предприятия, в солидарность разделенных государственными границами математиков, “по характеру своей науки, казалось бы, наиболее подготовленных к международной организации, но на практике оказывающихся зачастую крайними националистами”, как писал в то время русский математик А- Синцов. Особенно сомнительным представлялось прибытие в Париж сколько-нибудь представительной делегации немецких математиков.

В конце XIX века на первом месте по числу активна работающих ученых, по количеству печатных изданий, ц0 организованности и по значению в культурной и общественной жизни своих стран стояли математики Франции и Германии. На подъеме была итальянская математика. В России в самом расцвете была “могучая кучка” математиков чебышевской школы. В Англии после смерти Сильвестра и Кэли репутация математических наук уте не была столь высокой, и математические исследования стимулировались в основном решением тех или иных теоретических проблем механики. Поэтому отсутствие немецких математиков, несомненно, сказалось бы на работе конгресса и на его международном престиже. Но, к счастью, опасения эти не оправдались. Около 250 ученых из многих стран Европы, из Северной и Южной Америки и из Японии съехались в Париж на этот конгресс. Из Германии прибыли 25 человек, в числе которых были такие ведущие математики, как Ф. Клейн, Г. Кантор, Д. Гильберт. “...Казавшийся почти невозможным съезд в Париже при участии немецких математиков состоялся. Минуты, проведенные вместе за общим мирным делом, не пройдут без следа, и, как другие международные съезды, математический съезд внес свое в дело устранения вражды между народами”, — отмечает участник конгресса Д. Синцов. Немногочисленной оказалась лишь английская делегация, что опять-таки объяснялось чисто политическими причинами: симпатией французов к бурам, ведущим войну с Англией.

Торжественное открытие конгресса состоялось 6 августа во Дворце конгрессов. Председателем был избрав Анри Пуанкаре, почетным председателем — отсутствовавший (видимо, по болезни) Шарль Эрмит. В числе вице-председателей были Г. Миттаг-Леффлер и В. Вольтерра, известный математик из Турина. На следующий день участники конгресса покинули территорию выставки и перебрались в Латинский квартал, где в здании Сорбонны проходила работа всех шести секций. На секщюя ных заседаниях наиболее интересным оказался доклад геттингенского профессора Д. Гильберта, уже хорошо известного своими работами по теории инвариантов и теории алгебраических чисел. Его знаменитые “Основания геометрии”, вышедшие в свет за год до этого, заслужили высокую оценку Пуанкаре и многих других его коллег. Этот тридцативосьмилетний математик с трибуны конгресса дал весьма необычный прогноз развития математики в грядущем столетии: он перечислил проблемы, на которых будут сконцентрированы творческие усилия ученых в последующие десятилетия К Гильберт подчеркивает важность проблем для формирования направлений развития любой науки. Все перечисленные им проблемы действительно явились вехами в развитии математики XX века.

На последнем общем заседании, состоявшемся в субботу 11 августа, выступили только Миттаг-Леффлер, рассказавший о последних годах жизни Вейерштрасса, и Пуанкаре. “О роли интуиции и логики в математике” — такова тема его выступления. Председатель конгресса избрал одну из наиболее дискутируемых в то время общих проблем математики. Деление представителей этой науки на интуитивистов и логиков уже не было новостью. Такой классификации придерживался, например, Ф. Клейн. Пуанкаре по-разному подходит к различению математиков по их творческой манере. В качестве различительного признака он рассматривал, например, обобщающую способность их творчества. “Некоторые среди них любят лишь общие суждения, при наличии результата они стремятся мгновенно его обобщить, стараются сопоставить с ним близкие результаты, как бы делая из них фундамент наиболее высокой пирамиды, откуда они будут видеть дальше, — писал он как-то. — Есть и другие, которые являются противниками этих слишком широких взглядов, поскольку, как бы ни был красив обширный пейзаж, удаленные горизонты всегда несколько неопределенны. Они предпочитают ограничиться, чтобы лучше видеть подробности и приводить их к совершенству; они работают, как чеканщик; они больше художники, чем поэты”. Нечего и говорить, что сам Пуанкаре принадлежал к математикам первого типа.

Но сейчас он обращает внимание на несходство математиков-логиков и математиков-интуитивистов. Об этом

Пуанкаре писал еще год назад в одной из своих статей к этому же вопросу он вернется несколько лет спустя в своей книге “Ценность науки”: “Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, думаешь, что они продвигались вперед шаг за шагом с методичностью Воба-на, который готовит штурм крепости, ничего не оставляя на волю случая. Другие руководствуются интуицией и с первого удара добиваются побед, но иногда ненадежных, так же как отчаянные кавалеристы авангарда” Спорным остается вопрос о соотношении логического и интуитивного в математическом творчестве. Вскоре этот спор перерастет в ожесточенную полемику по обоснованию математики вообще, в которую будут втянуты некоторые ведущие ученые разных стран, в том числе Пуанкаре. Пока же его интересует лишь доля участия логики и интуиции в творческом процессе. Немало сторонников и у того и у другого метода. “Любое человеческое знание начинается с интуиции, затем переходит к понятиям и завершается идеями”, — писал в свое время Кант. Вели-кий Гаусс, целиком полагавшийся в своих математических доказательствах на собственную интуицию, признавался: “Мои результаты мне давно известны; я только не знаю, как я к ним приду”. По мнению Клейна, исследователь в математике “существенно пользуется своей фантазией и продвигается вперед индуктивно, опираясь на эвристические вспомогательные средства”. Сам Клейн послужил для Пуанкаре примером творца, для которого весьма значительную роль играют непосредственные, наглядные представления. Докладчик вспоминает о том, как немецкий математик при доказательстве теорем из теории абелевых интегралов плодотворно использовал картины течения жидкости. Приводит он и другие, прямо противоположные примеры. Математику одинаково необходимы и интуиция и логика, считает Пуанкаре. Преобладание же той или другой обусловлено лишь его индивидуальными особенностями. Но функции этих двух методов, безусловно, различны. Об этом он хорошо напишет позднее в книге “Наука и метод”: “Логика говорит нам, что на таком-то и таком-то пути мы, наверное, не встретим препятствий; но она не говорит, каков путь, который ведет к цели. Для этого надо издали видеть цель, а способность, научающая нас видеть, есть интуиция-Без нее геометр был бы похож на того писателя, который безупречен в правописании, но у которого нет мыслей”.

По мнению Пуанкаре, разум — слуга двух господ: логика доказывает, а интуиция творит. И та и другая равно необходимы в математических исследованиях. И все же чаша весов заметно склоняется у него в пользу интуиции. Нужно ли этому удивляться! Ведь сколько раз лменно интуиция приводила Пуанкаре к новым результатам, позволяла увидеть скрытые возможности. Интуитивный характер его творчества подтверждался многими из его современников. “Он ожидал, что истина разразится над ним, подобно грому”, — вспоминает о нем Пьер Бутру - “Его мысль рождалась, так сказать, вне его”, — вторит ему Жак Адамар. А. Ф. Массой в своем приветственном докладе по поводу вступления Пуанкаре во Французскую академию скажет: “В отдыхе ваш мозг продолжает механически свою работу, даже когда вы не осознаете этого; плод формируется, растет, зреет, отрывается, и вы выражаете нам свое удивление, весьма кстати находя его под рукой”.

1 22-я проблема Гильберта формулируется следующим образом: “Обобщить теорему Пуанкаре, утверждающую, что любое алгебраическое соотношение между двумя переменными можно увиформизовать с помощью автоморфных функций от одной переменной”. Проблема эта была решена в 1907 году самим Пуанкаре и одновременно Кебе.

 

 

назад вперед


Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution