Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной
индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается
током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам
изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и
собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС
самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в
контуре. Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий контур или
катушку с током, пропорционален силе тока I:
Φ = LI.
Коэффициент пропорциональности L в этой формуле называется
коэффициентом самоиндукции или индуктивностью катушки. Единица
индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура или
катушки равна 1 Гн, если при силе постоянного тока 1 А собственный
поток равен 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида,
имеющего N витков, площадь сечения S и длину l. Магнитное поле соленоида
определяется формулой
B = μ0In,
где I – ток в соленоиде, n = N / e – число витков на
единицу длины соленоида. Магнитный поток, пронизывающий все N витков
соленоида, равен
Φ = B·S·N = μ0n2SlI.
Следовательно, индуктивность соленоида равна
L = μ0n2Sl =
μ0n2V,
где V = Sl – объем соленоида, в котором сосредоточено магнитное поле.
Полученный результат не учитывает краевых эффектов, поэтому он приближенно
справедлив только для достаточно длинных катушек. Если соленоид заполнен
веществом с магнитной проницаемостью μ, то при заданном токе I
индукция магнитного поля возрастает по модулю в μ раз; поэтому
индуктивность катушки с сердечником также увеличивается в μ раз:
Lμ = μL =
μ0μn2V.
ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке с постоянным значением
индуктивности, согласно формуле Фарадея равна
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и
скорости изменения силы тока в ней. Магнитное поле обладает энергией. Подобно
тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в
катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если
включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в
электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается
кратковременная вспышка лампы (рис. 1). Ток в цепи возникает под
действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в
электрической цепи, является магнитное поле катушки.
Рисунок 1. Магнитная энергия катушки. При
размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает.
Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке,
выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление
цепи, то за время Δt выделится количество теплоты ΔQ = I2RΔt. Ток в
цепи равен
Выражение для ΔQ можно записать в виде
ΔQ = –LIΔI = –Φ(I)ΔI.
В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно убывает от
первоначального значения I0 до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в
цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I0 до 0.
Это дает
Эту формулу можно получить графическим методом, изобразив на графике
зависимость магнитного потока Φ(I) от тока I (рис. 2). Полное
количество выделившейся теплоты, равное первоначальному запасу энергии
магнитного поля, определяется площадью изображенного на рис. 2
треугольника.
Рисунок 2. Вычисление энергии магнитного
поля.
Таким образом, энергия Wм магнитного поля катушки с индуктивностью L,
создаваемого током I, равна
Применим полученное выражение для энергии катушки к длинному соленоиду
с магнитным сердечником. Используя приведенные выше формулы для коэффициента
самоиндукции Lμ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током I, можно
получить:
где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия
локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по
всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина
равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной
плотностью магнитной энергии. Дж. Максвелл показал, что выражение для
объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного
соленоида, справедливо для любых магнитных полей.
