С математической точки зрения движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения, однако с физической точки зрения, движение по окружности, - а в более широком смысле - движение по траекториям конического сечения, - является одной из важнейших форм движения в природе. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое
перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах
(рис. 1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением
Δl = RΔφ.
При малых углах поворота Δl ≈ Δs.
Рисунок 1. Линейное и угловое перемещения при движении тела
по окружности.
Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют
предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому
промежутку времени Δt:
Угловая скорость измеряется в рад/с. Связь между модулем
линейной скорости v и угловой скоростью ω:
v = ωR.
При равномерном движении тела по окружности величины v и ω остаются
неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора
Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением.
Ускорение
направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным,
или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения
связан с линейной v и угловой ω скоростями соотношениями:
Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за
малый промежуток времени Δt. По определению ускорения
Векторы скоростей и в точках A и B направлены по
касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы
vA = vB = v. Из подобия треугольников OAB и BCD
(рис. 2) следует:
Рисунок 2. Центростремительное ускорение тела при равномерном движении по
окружности.
При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние
|AB| =Δs ≈ vΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δv,
из подобия треугольников на рис.2 получаем:
При малых углах Δφ направление вектора
приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к
пределу при Δt → 0, получим:
При изменении положения тела на окружности изменяется направление на
центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения
остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем.
Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому
ускорение при равномерном движении тела по окружности называется
центростремительным. В векторной форме центростремительное ускорение может быть
записано в виде
где – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в
ее центре. Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется
также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения.
В этой формуле Δvτ = v2 – v1 – изменение модуля
скорости за промежуток времени Δt. Направление вектора полного ускорения
определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и
касательного ускорений (рис. 3).
Рисунок 3. Составляющие ускорения и при неравномерном движении тела
по окружности.
Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y
(плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две
составляющие vx и vy (рис. 4). При равномерном вращении тела величины
x, y, vx, vy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с
периодом
Рисунок 4. Разложение вектора скорости
по координатным осям.
удобно рассматривать угловое
перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах
(рис. 1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением
и угловое 
перемещения при движении тела
по окружности.
Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением.
Ускорение
за
малый промежуток времени Δt. По определению ускорения
и 
в точках A и B направлены по
касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы
vA = vB = v. Из подобия треугольников OAB и BCD
(рис. 2) следует:
при равномерном движении по
окружности.
приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к
пределу при Δt → 0, получим:
– радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в
ее центре. Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется
также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения.
определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и
касательного ускорений (рис. 3).
и 
при неравномерном движении тела
по окружности.
по координатным осям.
