Постановка задач. Классификация уравнений в частных производных
Постановка задач для уравнений в частных производных включает
определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого
количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой
уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные
неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по
различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно,
для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например
u<x,t) в некоторой области определения аргументов 0< х < L и 0<
t < T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости
функции и, или производных этой функции на границах расчетной области 0 и L,
а начальные - как заданная u(х, 0).
Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа:
- параболические — содержащие первую производную по одной переменной
и вторую — по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым
знаком;
- гиперболические — содержащие первую производную по одной
переменной и вторую — по другой, входящие в уравнение с разными знаками;
- эллиптические — содержащие только вторые производные, причем
одного знака.
Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.
|
