Некоторые примеры

В предыдущих разделах были использованы примеры исключительно линейных уравнений, т. е. содержащих только первую степень неизвестных функций и их производных. Между тем, многие нелинейные уравнения демонстрируют совершенно удивительные свойства, причем решение большинства из них можно получить лишь численно. Рассмотрим несколько наиболее известных классических примеров систем ОДУ, имея в виду, что читателю они могут пригодиться как в познавательных, так и в практических целях. Это модели динамики популяций (Вольтерры), генератора автоколебаний (Ван дер Поля), турбулентной конвекции (Лоренца) и химической реакции с диффузией (Пригожина). Все они (впрочем, как и уже приведенные выше в этой главе) содержат производные по времени t и описывают динамику различных физических параметров. Задачи Коши для таких моделей называют динамическими системами, и для их изучения центральным моментом является анализ фазовых портретов, т. е. решений, получающихся при выборе всевозможных начальных условий.

В большинстве примеров, изложенных ниже, для построения фазового портрета рассчитывается несколько решений для разных начальных условий.

Ограничимся в дальнейшем минимальными комментариями и приведем листинги и графики решений без подробного обсуждения.

Модель "хищник—жертва"

Модель взаимодействия "хищник—жертва" независимо предложили в 1925— 1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения (листинг 11.7) моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы Y0 и хищника Y1. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью с, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом r), и умирают естественным образом (смертность определяется константой D). В листинге рассчитываются три решения D, G, р для разных начальных условий.

Листинг 11.7. Модель "хищник-жертва"

Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника (рис. 11.9), и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром. Как видно, модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий — после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку. Динамические системы с таким поведением называют негрубыми.

Рис. 11.9. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) системы "хищник—жертва" (листинг 11.7)

Автоколебания

Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне (листинг 11.8). Неизвестная функция времени y(t) имеет смысл электрического тока, а в параметре ц заложены количественные соотношения между составляющими электрической цепи, в том числе и нелинейной компонентой сопротивления.

Листинг 11.8. Модель Ван дер Поля (м=1)

Рис. 11.10. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) уравнения Ван дер Поля (листинг 11.8)

 

Решением уравнения Ван дер Поля являются колебания, вид которых для ц=1 показан на рис. 11.10. Они называются автоколебаниями и принципиально отличаются от рассмотренных нами ранее (например, колебаний маятника в разд. 11.3.2) тем, что их характеристики (амплитуда, частота, спектр) не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой динамической системы. Через некоторое время расчетов после выхода из начальной точки решение выходит на один и тот же цикл колебаний, называемый предельным циклом. Аттрактор типа предельного цикла является замкнутой кривой на фазовой плоскости. К нему асимптотически притягиваются все окрестные траектории, выходящие из различных начальных точек, как изнутри (рис. 11.10), так и снаружи (рис. 11.11) предельного цикла.

Рис. 11.11. Решение уравнения Ван дер Поля при других начальных условиях у=-2, у =-3

 

Если компьютер у Вас не самый мощный, то расчет фазового портрета с рис. 11.10—11.11 в Mathcad может занять относительно продолжительное время, что связано с численным определением сначала решения y(t), а потом его производной. Время расчетов можно было бы существенно сократить, если использовать вместо вычислительного блока Given/Odesolve одну из встроенных функций, которые выдают решение в виде матрицы, например rkfixed.

Аттрактор Лоренца

Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система состоит из трех ОДУ и имеет три параметра модели (листинг 11.9). Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Листинг 11.9. Модель Лоренца

Рис. 11.12. Аттрактор Лоренца (листинг 11.9)

Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров (рис. 11.12) является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) — притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. В некотором смысле, аттрактор Лоренца является стохастическими автоколебаниями, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.

Решение в виде странного аттрактора появляется только при некоторых сочетаниях параметров. В качестве примера на рис. 11.13 приведен результат для г=ю и тех же значений остальных параметров. Как видно, аттрактором в этом случае является фокус. Перестройка типа фазового портрета происходит в области промежуточных г. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации. Физический смысл бифуркации в модели Лоренца, согласно современным представлениям, описывает переход ламинарного движения жидкости к турбулентному.

Рис. 11.13. Решение системы Лоренца с измененным параметром г=10

Замечательно, что решение подобных нелинейных динамических систем можно получить только численно, поэтому их изучение стало бурно развиваться с ростом возможностей вычислительной техники в последние полвека.

  

Знаете ли Вы, как разрешается парадокс Ольберса?
(Фотометрический парадокс, парадокс Ольберса - это один из парадоксов космологии, заключающийся в том, что во Вселенной, равномерно заполненной звёздами, яркость неба (в том числе ночного) должна быть примерно равна яркости солнечного диска. Это должно иметь место потому, что по любому направлению неба луч зрения рано или поздно упрется в поверхность звезды.
Иными словами парадос Ольберса заключается в том, что если Вселенная бесконечна, то черного неба мы не увидим, так как излучение дальних звезд будет суммироваться с излучением ближних, и небо должно иметь среднюю температуру фотосфер звезд. При поглощении света межзвездным веществом, оно будет разогреваться до температуры звездных фотосфер и излучать также ярко, как звезды. Однако в дело вступает явление "усталости света", открытое Эдвином Хабблом, который показал, что чем дальше от нас расположена галактика, тем больше становится красным свет ее излучения, то есть фотоны как бы "устают", отдают свою энергию межзвездной среде. На очень больших расстояниях галактики видны только в радиодиапазоне, так как их свет вовсе потерял энергию идя через бескрайние просторы Вселенной. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

{DATA}
НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 21.08.2019 - 14:24: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
19.08.2019 - 13:08: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
19.08.2019 - 13:00: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
19.08.2019 - 12:52: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Ю.Ю. Болдырева - Карим_Хайдаров.
17.08.2019 - 18:50: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Андрея Тиртхи - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 23:53: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 23:52: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 23:50: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМА ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 17:13: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> ПРОБЛЕМЫ ВНЕДРЕНИЯ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 16:22: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
15.08.2019 - 14:50: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА - Experimental Physics -> Вихревые эффекты и вихревые теплогенераторы - Карим_Хайдаров.
09.08.2019 - 13:03: АСТРОФИЗИКА - Astrophysics -> Исследования комет - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution