Некоторые примеры

В предыдущих разделах были использованы примеры исключительно линейных уравнений, т. е. содержащих только первую степень неизвестных функций и их производных. Между тем, многие нелинейные уравнения демонстрируют совершенно удивительные свойства, причем решение большинства из них можно получить лишь численно. Рассмотрим несколько наиболее известных классических примеров систем ОДУ, имея в виду, что читателю они могут пригодиться как в познавательных, так и в практических целях. Это модели динамики популяций (Вольтерры), генератора автоколебаний (Ван дер Поля), турбулентной конвекции (Лоренца) и химической реакции с диффузией (Пригожина). Все они (впрочем, как и уже приведенные выше в этой главе) содержат производные по времени t и описывают динамику различных физических параметров. Задачи Коши для таких моделей называют динамическими системами, и для их изучения центральным моментом является анализ фазовых портретов, т. е. решений, получающихся при выборе всевозможных начальных условий.

В большинстве примеров, изложенных ниже, для построения фазового портрета рассчитывается несколько решений для разных начальных условий.

Ограничимся в дальнейшем минимальными комментариями и приведем листинги и графики решений без подробного обсуждения.

Модель "хищник—жертва"

Модель взаимодействия "хищник—жертва" независимо предложили в 1925— 1927 гг. Лотка и Вольтерра. Два дифференциальных уравнения (листинг 11.7) моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы Y0 и хищника Y1. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью с, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом r), и умирают естественным образом (смертность определяется константой D). В листинге рассчитываются три решения D, G, р для разных начальных условий.

Листинг 11.7. Модель "хищник-жертва"

Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника (рис. 11.9), и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром. Как видно, модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий — после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку. Динамические системы с таким поведением называют негрубыми.

Рис. 11.9. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) системы "хищник—жертва" (листинг 11.7)

Автоколебания

Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне (листинг 11.8). Неизвестная функция времени y(t) имеет смысл электрического тока, а в параметре ц заложены количественные соотношения между составляющими электрической цепи, в том числе и нелинейной компонентой сопротивления.

Листинг 11.8. Модель Ван дер Поля (м=1)

Рис. 11.10. График решения (слева) и фазовый портрет (справа) уравнения Ван дер Поля (листинг 11.8)

Решением уравнения Ван дер Поля являются колебания, вид которых для ц=1 показан на рис. 11.10. Они называются автоколебаниями и принципиально отличаются от рассмотренных нами ранее (например, колебаний маятника в разд. 11.3.2) тем, что их характеристики (амплитуда, частота, спектр) не зависят от начальных условий, а определяются исключительно свойствами самой динамической системы. Через некоторое время расчетов после выхода из начальной точки решение выходит на один и тот же цикл колебаний, называемый предельным циклом. Аттрактор типа предельного цикла является замкнутой кривой на фазовой плоскости. К нему асимптотически притягиваются все окрестные траектории, выходящие из различных начальных точек, как изнутри (рис. 11.10), так и снаружи (рис. 11.11) предельного цикла.

Рис. 11.11. Решение уравнения Ван дер Поля при других начальных условиях у=-2, у =-3

Если компьютер у Вас не самый мощный, то расчет фазового портрета с рис. 11.10—11.11 в Mathcad может занять относительно продолжительное время, что связано с численным определением сначала решения y(t), а потом его производной. Время расчетов можно было бы существенно сократить, если использовать вместо вычислительного блока Given/Odesolve одну из встроенных функций, которые выдают решение в виде матрицы, например rkfixed.

Аттрактор Лоренца

Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система состоит из трех ОДУ и имеет три параметра модели (листинг 11.9). Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Листинг 11.9. Модель Лоренца

Рис. 11.12. Аттрактор Лоренца (листинг 11.9)

Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров (рис. 11.12) является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) — притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. В некотором смысле, аттрактор Лоренца является стохастическими автоколебаниями, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.

Решение в виде странного аттрактора появляется только при некоторых сочетаниях параметров. В качестве примера на рис. 11.13 приведен результат для г=ю и тех же значений остальных параметров. Как видно, аттрактором в этом случае является фокус. Перестройка типа фазового портрета происходит в области промежуточных г. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации. Физический смысл бифуркации в модели Лоренца, согласно современным представлениям, описывает переход ламинарного движения жидкости к турбулентному.

Рис. 11.13. Решение системы Лоренца с измененным параметром г=10

Замечательно, что решение подобных нелинейных динамических систем можно получить только численно, поэтому их изучение стало бурно развиваться с ростом возможностей вычислительной техники в последние полвека.