комп. моделирование   логика   ТПОИ   эконом. информатика   дискретная математика 3GL   4GL   5GL  

Теория функций комплексного переменного

  1. Предел последовательности комплексных чисел.
    Расширенная комплексная плоскость.
    Числовые ряды. Функции комплексного переменного
  2. Понятие функции комплексной переменного. Предел. Непрерывность
  3. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана
  4. Сопряжённые гармонические функции
  5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
  6. Равномерносходящиеся функциональные ряды
  7. Степенные ряды. Теорема Адамара
  8. Дифференцирование степенных рядов
  9. Функция . Общая степенная функция
  10. Показательная функция
  11. Тригонометричекие функции
  12. Линейная функция. Функция w=1/z
  13. Дробно-линейная функция
  14. Понятие интеграла по комплексному переменному
  15. Теорема Коши
  16. Теорема Коши для сложного контура
  17. Первообразная аналитической функции
  18. Литература по ТФКП

Теория функций комплексной переменной (теория аналитических функций) в рамках университетского курса является в основном продолжением курса математического анализа.

Основы теории функций комплексной переменной (ТФКП) были заложены в середине XVIII века Л. Эйлером, а как самостоятельная ветвь математики дисциплина оформилась около середины XIX века благодаря работам О. Коши, К. Вейерштрасса, Ю. В. Сохоцкого и Б. Римана. Сейчас ТФКП является одним из важнейших разделов математики.

Ее идеи и результаты проникли во многие другие математические дисциплины, такие как алгебраическая топология, обыкновенные дифференци- альные уравнения, математическая физика, функциональный анализ, теория вероятностей, вычислительная математика и др. Методы ТФКП стали привычными и в ряде прикладных дисциплин (гидро- и аэромеханика, теория упругости, теория элементарных частиц). В связи с этим курс ТФКП является обязательным на всех отделениях механико-математического, физического и других факультетов.

Важнейшим понятием ТФКП является компактификация комплексной плоскости, состоящая в присоединении к ней бесконечно удаленной точки. Плоскость с присоединенной бесконечно удаленной точкой (расширенная комплексная плоскость) при стереографическом проектировании соответствует полной числовой сфере. При соответствующем определении окрестности бесконечно удаленной точки стереографическое проектирование расширенной комплексной плоскости на замкнутую числовую сферу (сферу Римана) оказывается непрерывным в обе стороны в каждой точке. Расширенная комплексная плоскость, как и замкнутая числовая сфера, являются компактами.

1. Предел последовательности комплексных чисел.
Расширенная комплексная плоскость.
Числовые ряды. Функции комплексного переменного

-окрестностью точки  будем называть множество точек  комплексной плоскости, удовлетво-ряющих условию:  -- открытый круг с центром в точке  радиуса

2) Пусть дана последовательность  Будем называть  пределом последовательности, если выполняется: . Тогда

Теорема1: последовательность  имеет предел  

1) . Доказать, что

2) . Тогда

Теорема2: критерий Коши  -- сходится

3) Последовательность  называется ограниченной, если

Теорема3 (Б-В): из всякой ограниченной бесконечной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

4) Будем говорить, что , если . Окрестностью бесконечно удалённой точки будем называть внешность любого круга с центром в н/к достаточно большого радиуса

5) Комплексная плоскость с -удалённой точкой -- расширенная комплексная плоскость

Это сфера Римана (стереографическая проекция)

2. Понятие функции комплексной переменного. Предел. Непрерывность

1) Область -- множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим двум условиям:

            1) Все точки этого множества внутренние

            2) Любые 2 точки этого множества можно соединить ломаной, лежащей в этой области

Область будем обозначать

 -- область с границей, замкнутая область

2) Область  называется односвязной, если она удовлетворяет следующему условию: какую бы замкнутую непрерывную кривую в этой области мы не взяли, часть плоскости, внутренняя по отношению кривой, такжу принадлежит этой области

Проще говоря, односвязная область -- область без дыр

3) На комплексной плоскости задана функция , если указано правило, по которому каждому  ставится одно или несколько значений . В первом случае функция  однозначная, во втором -- многозначная

 -- однозначная

 -- многозначная (-значная)

Поскольку , то ,  и  -- вещественные функции:

4) , если выполняется условие:

5) Функция называется непрерывной в точке , если  и

Непрерывность в области означает непрерывность в каждой точке области

6)  называется равномерно непрерывной в области , если выполняется следующее условие:

3. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана

1) Производной функции  в точке  мы будем называть предел отношения вида:

2) Функция называется дифференцируемой в точке , если у неё в этой точке существует конечная производная. Учитываются все пути

Теорема4 (условие Коши-Римана): пусть  -- дифференцируема в точке , причём . Тогда функции  и  в точке  имеют частные производные, причём  и

Доказательство:

1) Пусть

Тогда

2) Пусть

Тогда

Итак, , поэтому  и

Данные условия необходимы, но не достаточны

Теорема5: пусть дана

Пусть  и  -- дифференцируемы в точке , и в этой области выполняется условие Коши-Римана. Тогда  -- дифференцируема в точке

Доказательство:

,  -- бесконечно малая

,  -- бесконечно малая

Надо доказать, что существует предел:

3)  называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области

4) Функция называется аналитичной в области , если она дифференцируема в области

Понятие аналитичности функции относится к области, но бы и про конкретную точку будем говорить, что функция аналитична в этой точке, имея ввиду аналитичность в окрестности этой точки

4. Сопряжённые гармонические функции

 -- уравнение Лапласа

 -- оператор Лапласа

1) Функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа, мы будем называть гармонической функцией

Действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая:

Аналогично можно показать, что мнимая часть аналитической функции есть функция гармоническая

2) Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, мы будем называть сопряжёнными гармоническими функциями

5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть  -- аналитична в области . Возьмём точку  из области  и потребуем, чтобы  (так как у нуля аргумент не определён)

тттттт

1) Отображение, обладающее 2 свойствами: консерватизмом углов и постоянством растяжений, мы будем называть конформным отображением

При этом если углы сохраняются по направлению, то конформное отображение -- отображение 1 рода, а если меняются на противоположные, то 2 рода. Таким образом, отображение, задаваемое аналитической функцией в тех точках, где производная , есть конформное отображение 1 рода

6. Равномерносходящиеся функциональные ряды

 -- функциональный ряд, где  -- функции, заданные на

Если фиксировать , то получим  -- числовой ряд. Если он сходится, то  -- точка сходимости данного функционального ряда

 -- сумма ряда. Если ряд равномерно сходится, то  будет непрерывной

1)  -- равномерно сходящийся к своей предельной функции  на , если выполняется следующее условие:

Теорема6: пусть члены функционального ряда  есть функции непрерывные на множестве  и данный ряд равномерно сходится на этом множестве, тогда сумма этого ряда есть функция, непрерывная на множестве

Возьмём . Тогда:

 -- непрерывность функций

 -- равномерная сходимость

Так как , то она непрерывна как сумма конечного числа непрерывных функций. Тогда

Теорема7 (критерий Коши для равномерной сходимости функциональных рядов):  чтобы  равномерно сходился на ,

Теорема8 (признак Вейерштрасса)

Пусть         и -- сходится

Тогда  равномерно сходится на

Сравнивать комплексные числа мы не можем, поэтому нет признаков Абеля и Дирихле)

7. Степенные ряды. Теорема Адамара

 -- степенной ряд

 -- степенной ряд

При  любой степенной ряд сходится

Теорема9 (Абеля): пусть  -- сходится в точке , тогда данный ряд сходится в любой точке, что

Доказательство: пусть  -- сходится

Пусть теперь . Тогда

Пусть , причём , тогда

Ряд  -- сходится как геометрическая прогрессия с показателем меньше 1. Тогда по признаку сравнения наш ряд сходится

Следствие: для  , что

 -- радиус сходимости степенного ряда.  -- круг сходимости степенного ряда

Теорема10 (Коши-Адамара): рассмотрим степенной ряд , тогда

Пусть , тогда можно рассмотреть 3 случая:

Во всех трёх случаях надо доказать, что

8. Дифференцирование степенных рядов

Теорема11: сумма степенного ряда есть функция аналитическая внутри круга сходимости, причём производная от неё в любой точке этого круга может быть получена путём почленного дифференци-рования степенного ряда

доказательство длинное

9. Функция . Общая степенная функция

1) Функция  -- однолистная в области , если выполняется:

Функция :

Однолистность нужна для того, чтобы мы могли находить обратную функцию. Функция  преобразует множество точек слева в множество точек справа. Область однолистности функции

такая: , тогда это множество перейдёт во всю плоскость

Подберём функцию, отображающую первый координатный угол комплексной плоскости на верхнюю полуплоскость:

В общем, для  областью однолистности является любой сектор вида

10. Показательная функция

, пусть , тогда

Можно так представить:

1)  -- аналитическая во всей комплексной плоскости (доказывается с помощью условия Коши-Римана и дифференцируемости во всех точках)

2)

3)

4)

5) , так как

6)

7)  -- периодическая с чисто мнимым периодом :

8) Области однолистности

Пусть , пусть . Пусть . Надо выяснить, когда

Если , то обязательно . Также

Поэтому любая горизонтальная полоса шириной  будет областью однолистности. Любая полоса переходит во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной неотрицательной оси. А  перейдёт в плоскость с разрезом по лучу

1) Любая прямая  в плоскости  перейдёт в луч :

2) Любой отрезок  перейдёт в окружность радиуса :

11. Тригонометричекие функции

Так как , то . Итак,

Свойства тригонометрических функций:

1)

2)  -- аналитические, при этом

3)  -- периодические с периодом

4)  и  -- не являются ограниченными функциями

Например,

 могут принимать сколь угодно большие значения

5) Область однолистности:

12. Линейная функция. Функция

 -- линейная функция

Рассмотрим частные случаи:

1)

2)

Поэтому получается поворот на угол :

3)

, а

Поэтому это преобразование является масштабированием

4) Пусть

Поэтому

Поэтому линейное преобразование -- композиция масштабирования, поворота и переноса

Прямые переходят в прямые, окружности -- в окружности

Функция

Точки  и  называются симметричными относительно окружности с центром в точке O, радиуса , если:

1)  и  лежат на одном луче, выходящем из центра окружности

2)

Рассмотрим функцию  :

1) Точки  и  будут симметричными относительно окружности

Если , тогда , поэтому

2) При отображении  окружность переходит в окружность:

Так как  и  симметричны относительно окружности , то очевидно, что поточечно окружность перейдёт в симметричную ей с помощью инверсии

13. Дробно-линейная функция

 -- дробно-линейная функция, где , , ,  -- комплексные константы,

Поэтому с помощью простых преобразований,

Можно её представить так:       

1) Если , то поставим , а для  поставим . Таким образом, мы установим взаимно-однозначное соответствие между рашсиренным  и расширенным . Дробно-линейная функция взаимнооднозначно и конформно переводит всю расширенную плоскость  на

2) При дробно-линейном отображении окружность переходит в окружность

3) Дробно-линейная функция полностью определяется заданием трёх пар соответвтвующих точек

Посчитаем это:

Итак, ,

Поэтому

Поэтому

Поэтому

Это ангармоническое отношение, или отношение четырёх точек. Отношение 4 точек для дробно-линейной функции является инвариантом. В качестве , , , , ,  мы можем брать и бесконечности

Задача1: найти дробно-линейное отображение, которое преобразует:

 

Поэтому

Вообще, прямая -- окружность бесконечного радиуса

2 способ решения задач подобного рода --  выразить через , а  и  -- через ,

16. Понятие интеграла по комплексному переменному

Пусть  -- определена и однозначна в области

Рассмотри кривую .  -- гладкая с началом в точке  и с концом в точке

Мы точками  разобьём кривую на элементарные дуги

 -- длина -й ломаной

Определение: если при  не зависящее от разбиения и выбора точек , то предел будем называть

Если  непрерывно в области , то наш интеграл существует

Будем обозначать точки не , а  (для удобства)

Как считать интеграл :

Пусть

Можно по формуле Грина, но обычно параметризуя кривую, сводим к обычному интегралу Римана

Например, если , то

1)

2) Линейность интеграла:

3) Аддитивность: пусть , тогда

4) Если  -- длина , а , то

17. Теорема Коши

Теорема12: Пусть  -- определена и аналитична в односвязной области , охватываемой контуром  и на  

Тогда

Доказательство очень сложное

18. Теорема Коши для сложного контура

Теорема13: Пусть функция  аналитична в многосвязной области , охватываемой сложным контуром , и на самом этом контуре. Тогда

Для этого многосвязная область разбивается на замкнутые односвязные, а уж по ним интегралы равны нулю. Естественно, интеграл по исходной области будет таким же:

19. Первообразная аналитической функции

 -- первообразная  в области , если

Любые две первообразные функции отличаются комплексной константой

Теорема14: пусть функция  аналитична в области . Возьмём . Тогда является первообразной  в области , то есть

Доказательство: дадим точке  приращение , чтобы . Тогда:

Тогда

Итак,

Надо доказать, что

Получаем

Так как  аналитична в , то

Поэтому

Поэтому, очевидно, что

Перейдя к пределу в равенстве , получим

Теорема15 (формула Ньютона-Лейбница):

Пусть  -- аналитична в

Пусть  -- первообразная  в

Тогда

По Т14,  -- первообразная  в области ,

С другой стороны,

, поэтому

Поэтому

Пример:

20. Интегральная формула Коши

Теорема16: пусть  -- аналитична в односвязной области , охватываемой контуром , и на самом . Тогда для любой точки  справедливо:  -- формула связывает внутренние значения со значениями на контуре

Доказательство длинное и сложное

разобрать примеры

21. Интегральная формула Коши для сложного контура

Теорема17: пусть  -- аналитична в многосвязной области , ограниченной сложным контуром , и на самом этом контуре. Тогда

Доказательство с помощью разбиения на односвязные области и теоремы16 (легко)

22. Интеграл типа Коши

Пусть  -- непрерывна на. Рассмотрим функцию . Понятно, что если , то подынтегральная функция  -- непрерывна на кривой    -- всегда существует

Итак, интеграл Коши, то есть

Теорема18: интеграл типа Коши есть функция аналитическая в любой точке своей области определения (. Более того, эта функция является бесконечно дифференцируемой

Итак,

Докажем, что второе слагаемое  при :

Пусть . Тогда

Поскольку  -- непрерывно на , то оно ограничено на , поэтому

Поэтому

Поэтому

Проведя аналогичные выкладки для , получаем:

Далее по индукции можно получить:

Теорема19: пусть  -- аналитична в . Тогда она в этой области имеет производные сколь угодно большого порядка

Пусть , пусть . Тогда по интегральной формуле Коши,

Значит, у нашей функции в точке  существует производная. По теореме18,  в точке  имеет производные сколь угодно большого порядка, причём вычислятся так:

В силу произвольности выбора точки , это верно для любой точки  из области

23. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций

Теорема20: пусть , и члены этого ряда непрерывны на кривой , и ряд равномерно сходится на этой кривой . Тогда данный ряд можно почленно интегрировать вдоль этой кривой, причём справедливо:

Введём обозначения:

 -- частичные суммы ряда (*)

 -- частичные суммы ряда (**)

Если (*) -- функциональный ряд, то (**) -- числовой ряд

 

Поэтому

Итак, равномерно сходящиеся ряды мы можем почленно интегрировать

Теорема21: рассмотрим

Пусть члены этого ряда есть функции аналитические в области  и пусть равномерная сходимость в . Тогда  аналитична в , и данный ряд можно почленно дифференцировать, причём справедливо равенство:

доказательство длинное

24. Ряд Тейлора

Теорема22: пусть  -- аналитична в круге

Тогда в этом круге наша функция раскладывается в степенной ряд, причём это разложение единственно

Про границу круга ничего не известно. Поэтому проведём окружность ,  лежит внутри:

 -- аналитична внутри Г и на Г, поэтому по интегральной формуле Коши имеем:

, и пусть , тогда

Тогда

Этот ряд равномерно сходится на :  -- этот ряд сходится как геометрическая прогрессия с . Тогда по признаку Вейерштрасса, наш ряд  павномерно сходится на

Итак,

Получим разложение по степеням, при этом

Полученный ряд будет рядом Тейлора, поскольку коэффициенты считаются по такой формуле

Единственность доказывается элементарно

Теорема23 (неравенство Коши): пусть  -- аналитична в круге . Это означает, что . Тогда , где , где

Доказательство:

Тогда

25. Нули аналитической функции

1)  называется целой, если она аналитична во всей комплексной плоскости

Теорема24 (Лиувилля): если  -- целая и ограниченная, то  тождественно равна константе

Пусть

Во всей комплексной плоскости . Так как

Если , то  при

Поэтому  (константа)

2) Функция  называется голоморфной (регулярной) в точке , если существует окрестность этой точки, в которой функция раскладывается в степенной ряд

Замечание: понятия голоморфности и аналитичности эквивалентны

3) Нули аналитической функции

Мы будем говорить, что функция  в точке  -- ноль кратности , если:

,   ,   ,..., ,  

Если , мы будем говорить, что функция в точке  имеет простой нуль, или нуль первого порядка

Очевидно, что если  -- ноль -го порядка,  то разложение Тейлора в окрестности этой точки имеет вид: , где

Теорема25: чтобы функция  имела в точке  нуль -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде: , где , а функция  -- аналитична в точке

1) Необходимость: пусть  в точке  имеет нуль -го порядка, и значит, разложение в ряд Тейлора имеет вид:

2) Достаточность: ,

Тогда

Итак, , ,..., ,

Поэтому  -- ноль -го порядка

26. Ряд Лорана

Теорема26: пусть  -- аналитична в кольце

Тогда в этом кольце функция

Ряд такого вида называется рядом Лорана

доказательство длинное и сложное

27. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого

1) Точка  называется изолированной особой точкой для , если  аналитична в кольце вида  (всюду аналитична в окрестности этой точки за исключением самой точки)

Пусть  -- изолированная особая точка функции . Тогда если наша функция аналитична в , то она допускает разложение в ряд Лорана

2) Точка  называется устранимой особой точкой, если разложение в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней: . Особенность легко можно устранить, положив

3) Точка  называется точкой типа “полюс”, если разложение в ряд Лорана содержит конечное число  отрицательных степеней. При этом если , то -- простой полюс, или полюс первого порядка, а если , то полюс кратности  или полюс -го порядка

4) Точка  -- существенная особая точка для , если разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней

Теорема27: пусть точка  -- ноль -го порядка аналитической функции , тогда функция

в точке  имеет полюс -го порядка

Доказательство:

 -- ноль -го порядка, поэтому , где  аналитична в точке  и

Тогда

Так как , то  аналитична в точке . Поэтому  в окрестности точки  раскладывается в ряд Тейлора: . При этом очевидно, что

Поэтому

Так как , то  -- полюс -го порядка для функции

Теорема28: пусть  -- полюс для . Тогда

Доказательство:

Теорема29 (теорема Сохоцкого): пусть точка  -- существенно особая точка функции . Тогда каково бы ни было (конечное или бесконечное), существует последовательность  из области определения функции  такая, что

Доказательство:

1) Пусть , тогда . В противном случае  была бы ограничена в окрестности , и точка  являлась бы устранимой

2) Пусть  -- число. Предположим, что не существует ни одной такой последовательности

не понял

28. Поведение функции в окрестности бесконечно удалённой точки

Пусть  аналитична в  за исключением бесконечно удалённой точки, то есть  аналитична в

нннн

29. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах

Пусть  -- изолированная особая точка функции . Тогда в окрестности  функция расклады-вается в ряд Лорана: ,

Коэффициент при первой отрицательной степени в разложении в ряд Лорана функции  в окрестности изолированной особой точки  мы будем называть вычетом функции  в точке  и обозначать

Лемма: пусть  -- изолированная особая точка , а контур  -- замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции , и охватывающий точку . Тогда

Теорема30 (основная теорема о вычетах): пусть  -- аналитична внутри  и на  за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри

Тогда . Итак, мы имеем:

 

Окружим  контурами  таким образом, чтобы эти контуры не пересекались между собой, и лежали внутри . Тогда мы получим, что . По предыдущей лемме, . Тогда

30. Техника вычисления вычетов

1) Если  -- устранимая особая точка функции , то вычет относительно точки  равен

2) Если  -- существенная особая точка, то вычет считается разложением в ряд

3) Если  -- простой полюс функции , то разложение в ряд Лорана имеет вид:

Тогда

Тогда, перейдя к пределу при , получим

4) Пусть , где

Тогда, очевидно,  -- простой полюс функции . При этом:

5) Пусть  -- полюс -го порядка функции , где

Тогда

Продифференцируем  раз:

Тогда

Тогда

31. Вычет относительно бесконечно удалённой точки

Пусть  -- аналитична в ,

Тогда . Пример вычисления вычета относительно бесконечно удалённой точки:

Например:

. Вычет посчитать легко

комп. моделирование   логика   ТПОИ   эконом. информатика   дискретная математика 3GL   4GL   5GL  
Знаете ли Вы, что "гравитационное линзирование" якобы наблюдаемое вблизи далеких галактик (но не в масштабе звезд, где оно должно быть по формулам ОТО!), на самом деле является термическим линзированием, связанным с изменениями плотности эфира от нагрева мириадами звезд. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 24.05.2017 - 20:22: СОВЕСТЬ - Conscience -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
24.05.2017 - 19:39: СОВЕСТЬ - Conscience -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
24.05.2017 - 16:55: СОВЕСТЬ - Conscience -> Декларация Академической Свободы - Карим_Хайдаров.
24.05.2017 - 14:52: СОВЕСТЬ - Conscience -> КОЛЛАПС МИРОВОЙ ФИНАНСОВОЙ СИСТЕМЫ - Карим_Хайдаров.
24.05.2017 - 06:20: Беседка - Chatter -> ЭПИСТОЛЯРНАЯ ФИЗИКА - Карим_Хайдаров.
24.05.2017 - 06:19: ЦИТАТЫ ЧУЖИХ ФОРУМОВ - Outside Quotings -> Гипотеза о причине смещения линии апсид эллиптических орбит - Карим_Хайдаров.
23.05.2017 - 16:17: СОВЕСТЬ - Conscience -> Проблема народного образования - Карим_Хайдаров.
23.05.2017 - 13:07: СОВЕСТЬ - Conscience -> Просвещение от Сергея Салля - Карим_Хайдаров.
15.05.2017 - 05:53: ЦИТАТЫ ЧУЖИХ ФОРУМОВ - Outside Quotings -> Украинский сайт ЭкоТехника - Карим_Хайдаров.
13.05.2017 - 07:01: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА - Experimental Physics -> Опыты Майкельсона-Морли,Маринова и увлечение эфира - Сергей_Юдин.
11.05.2017 - 16:32: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
11.05.2017 - 11:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> Просвещение от Ю.Ю. Болдырева - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution