Логика в Excel   теория и практика обработки информации   дискретная математика   экономическая информатика

Математическая логика

Аксиоматический метод

  1. Аксиомы натуральных чисел
  2. Начальные задачи
  3. Сложение
  4. Порядок
  5. Наименьший элемент
  6. Умножение
  7. Системы Пеано

Логика высказываний

  1. Объектный язык и метаязык
  2. Пропозициональные формулы
  3. Доказательство свойств формул по индукции
  4. Разбор формул
  5. Семантика
  6. Нормальные формы
  7. Выполнимость
  8. Логическое следование
  9. Пропозициональный вывод
  10. Правила для конъюнкции и импликации
  11. Правило введения посылки
  12. Корректность правил вывода
  13. Правила для отрицания и правила противоречия
  14. Правила для дизъюнкции
  15. Корректность и полнота логики высказываний

Логика предикатов

  1. Язык логики предикатов
  2. Свободные и связанные переменные
  3. Представление предложений русского языка
    предикатными формулами
  4. Подстановка
  5. Семантика
  6. Выполнимость
  7. Логическое следование
  8. Выводы в логике предикатов
  9. Правила для кванторов всеобщности
  10. Правила для кванторов существования
  11. Корректность и полнота логики предикатов
  12. Функциональные символы и равенство: синтаксис
  13. Функциональные символы и равенство: семантика
  14. Выводы в логике первого порядка
  15. Теории первого порядка
  16. Булевы функции
  17. Пример: Теория линейного порядка
  18. Арифметика первого порядка
  19. Нестандартные модели арифметики
  20. Теорема неполноты Гёделя

Введение

Предмет математической логики

Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические. Таким образом, математическая логика, по-существу, – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим'' процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями.

Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. При этом используют термин семантика (синоном слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис и семантику.

Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина – ``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и ``аксиоматика'').

Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы.

Формальная система определена, если:

  1. Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул).
  2. Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными).
  3. Выделено множество формул, называемых аксиомами. Это – стартовые точки в выводах.
  4. Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Пример формальной системы

Рассмотрим пример простой, ``игрушечной'' формальной системы.

Пример формальной системы. Популярная формальная система (DH) определяется следующим образом:

  1. Алфавит: {M,I,U}.
  2. Формулы: любая последовательность символов данного алфавита.
  3. Одна аксиома: MI.
  4. Правила вывода: символом m в первом и во втором правиле обозначается произвольное слово.
Приведём пример построения вывода:

MI (аксиома), MII (правило 2), MIIII (правило 2), MIIIIU (правило 1), MIUU (правило 3), MI (правило 4).

Определите, можно ли получить формулу MU с помощью правил вывода из аксиомы.

Структура раздела

Раздел ``математическая логика'' состоит из трёх частей: по неформальному аксиоматическому методу, по логике высказываний и по логике предикатов (первого порядка).

Аксиоматический метод построения – первый шаг на пути к формализации теории. Мы рассматриваем аксиоматический метод на примере одной из самых популярных алгебраических систем – арифметики. В третьей части мы приходим уже к полностью формальному описанию арифметики. Для этого нам требуется весь материал, излагаемый во второй и в третьей частях.

По поводу используемой нотации. Текст построен на последовательности задач. Большинство задач состоит в доказательстве некоторых утверждений. Для некоторых задач имеются указания для решения. Для отдельных приведено решение. Некоторые задачи служат для подготовки читателя к следующим задачам – для номеров таких вспомогательных задач используется курсив. В тексте мы часто используем шаблон ``для <объекты> : <свойство>''. Здесь ``:'' является сокращением слов ``выполняется следующее:''.

Логика в Excel   теория и практика обработки информации   дискретная математика   экономическая информатика
Знаете ли Вы, что такое "усталость света"?
Усталость света, анг. tired light - это явление потери энергии квантом электромагнитного излучения при прохождении космических расстояний, то же самое, что эффект красного смещения спектра далеких галактик, обнаруженный Эдвином Хабблом в 1926 г.
На самом деле кванты света, проходя миллиарды световых лет, отдают свою энергию эфиру, "пустому пространству", так как он является реальной физической средой - носителем электромагнитных колебаний с ненулевой вязкостью или трением, и, следовательно, колебания в этой среде должны затухать с расходом энергии на трение. Трение это чрезвычайно мало, а потому эффект "старения света" или "красное смещение Хаббла" обнаруживается лишь на межгалактических расстояниях.
Таким образом, свет далеких звезд не суммируется со светом ближних. Далекие звезды становятся красными, а совсем далекие уходят в радиодиапазон и перестают быть видимыми вообще. Это реально наблюдаемое явление астрономии глубокого космоса. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 19.10.2017 - 04:24: Беседка - Chatter -> ЭПИСТОЛЯРНАЯ ФИЗИКА - Карим_Хайдаров.
11.10.2017 - 05:10: ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФИЗИКА - Experimental Physics -> Эксперименты с трансформатором Тесла - Карим_Хайдаров.
05.10.2017 - 11:03: СОВЕСТЬ - Conscience -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
04.10.2017 - 15:26: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ - Economy and Finances -> ПРОБЛЕМА КРИМИНАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИКИ - Карим_Хайдаров.
04.10.2017 - 05:02: Беседка - Chatter -> "Зенит"ы с "Протон"ами будут падать - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 18:16: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от О.Н. Четвериковой - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 07:42: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вазгена Авагяна - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 07:24: ЦИТАТЫ ЧУЖИХ ФОРУМОВ - Outside Quotings -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
03.10.2017 - 05:48: Беседка - Chatter -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
02.10.2017 - 19:04: АСТРОФИЗИКА - Astrophysics -> Апериодическая комета C/2014 Q2 Lovejoy - Карим_Хайдаров.
02.10.2017 - 14:57: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
01.10.2017 - 07:23: СОВЕСТЬ - Conscience -> НАСАтые астропиндосы - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution