Логика в Excel   теория и практика обработки информации   дискретная математика   экономическая информатика

Математическая логика

Аксиоматический метод

  1. Аксиомы натуральных чисел
  2. Начальные задачи
  3. Сложение
  4. Порядок
  5. Наименьший элемент
  6. Умножение
  7. Системы Пеано

Логика высказываний

  1. Объектный язык и метаязык
  2. Пропозициональные формулы
  3. Доказательство свойств формул по индукции
  4. Разбор формул
  5. Семантика
  6. Нормальные формы
  7. Выполнимость
  8. Логическое следование
  9. Пропозициональный вывод
  10. Правила для конъюнкции и импликации
  11. Правило введения посылки
  12. Корректность правил вывода
  13. Правила для отрицания и правила противоречия
  14. Правила для дизъюнкции
  15. Корректность и полнота логики высказываний

Логика предикатов

  1. Язык логики предикатов
  2. Свободные и связанные переменные
  3. Представление предложений русского языка
    предикатными формулами
  4. Подстановка
  5. Семантика
  6. Выполнимость
  7. Логическое следование
  8. Выводы в логике предикатов
  9. Правила для кванторов всеобщности
  10. Правила для кванторов существования
  11. Корректность и полнота логики предикатов
  12. Функциональные символы и равенство: синтаксис
  13. Функциональные символы и равенство: семантика
  14. Выводы в логике первого порядка
  15. Теории первого порядка
  16. Булевы функции
  17. Пример: Теория линейного порядка
  18. Арифметика первого порядка
  19. Нестандартные модели арифметики
  20. Теорема неполноты Гёделя

Введение

Предмет математической логики

Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания – математические. Таким образом, математическая логика, по-существу, – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Действительно, ``доказательные'' (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто ``механическим'' процессом переписывания текста ( формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями.

Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому, надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. При этом используют термин семантика (синоном слова ``смысл'') и чётко разделяют синтаксис и семантику.

Когда же действительно интересуются только синтаксисом, часто используют термин ``формальная система''. Мы будем использовать синоним этого термина – ``исчисление'' (используются ещё термины ``формальная теория'' и ``аксиоматика'').

Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы.

Формальная система определена, если:

  1. Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул).
  2. Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными).
  3. Выделено множество формул, называемых аксиомами. Это – стартовые точки в выводах.
  4. Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Пример формальной системы

Рассмотрим пример простой, ``игрушечной'' формальной системы.

Пример формальной системы. Популярная формальная система (DH) определяется следующим образом:

  1. Алфавит: {M,I,U}.
  2. Формулы: любая последовательность символов данного алфавита.
  3. Одна аксиома: MI.
  4. Правила вывода: символом m в первом и во втором правиле обозначается произвольное слово.
Приведём пример построения вывода:

MI (аксиома), MII (правило 2), MIIII (правило 2), MIIIIU (правило 1), MIUU (правило 3), MI (правило 4).

Определите, можно ли получить формулу MU с помощью правил вывода из аксиомы.

Структура раздела

Раздел ``математическая логика'' состоит из трёх частей: по неформальному аксиоматическому методу, по логике высказываний и по логике предикатов (первого порядка).

Аксиоматический метод построения – первый шаг на пути к формализации теории. Мы рассматриваем аксиоматический метод на примере одной из самых популярных алгебраических систем – арифметики. В третьей части мы приходим уже к полностью формальному описанию арифметики. Для этого нам требуется весь материал, излагаемый во второй и в третьей частях.

По поводу используемой нотации. Текст построен на последовательности задач. Большинство задач состоит в доказательстве некоторых утверждений. Для некоторых задач имеются указания для решения. Для отдельных приведено решение. Некоторые задачи служат для подготовки читателя к следующим задачам – для номеров таких вспомогательных задач используется курсив. В тексте мы часто используем шаблон ``для <объекты> : <свойство>''. Здесь ``:'' является сокращением слов ``выполняется следующее:''.

Логика в Excel   теория и практика обработки информации   дискретная математика   экономическая информатика

Знаете ли Вы, что такое "Большой Взрыв"?
Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии "Большой взрыв (англ. Big Bang) - это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно - начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения..."
В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею.
На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве.
Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как "взрыв" - понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых.
Во-вторых, Вселенная - это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной).
В третьих, фраза "представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва" тоже есть сплошной нонсенс.
Что могло быть "вблизи Большого взрыва", если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 02.07.2020 - 06:41: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:08: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:07: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:06: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Владимира Васильевича Квачкова - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:04: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 05:39: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 04:20: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
30.06.2020 - 19:53: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
29.06.2020 - 16:12: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
29.06.2020 - 16:08: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от К.П. Петрова (КОБ) - Карим_Хайдаров.
29.06.2020 - 08:01: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Игоря Алексеевича Гундарова - Карим_Хайдаров.
29.06.2020 - 06:56: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ЗА НАМИ БЛЮДЯТ - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution