Логика в Excel   теория и практика обработки информации   Математическая логика   экономическая информатика

Аксиоматический метод в математической логике

В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий, которые по предположению удовлетворяют определенным аксиомам. Прочие понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и из аксиом и определений выводятся теоремы. Развитие математической теории в таком стиле – это первый шаг по направлению к её формализации.

В этой части мы исследуем применение аксиоматического метода в арифметике. Мы используем термин ``натуральные числа'' в смысле, отличающемся от обычного – ноль мы тоже включаем в натуральные числа. Такое использование этого термина обычно для зарубежных математиков. Мы пишем ``натуральные числа'' только чтобы не писать каждый раз ``целые неотрицательные числа''.

Аксиомы натуральных чисел

Мы рассматриваем множество w объектов называемых натуральными числами. Одно из натуральных чисел называется нулём и обозначается 0 . Для любого натурального числа n одно из натуральных чисел называется следующим за числом n и обозначается n' .

Множество натуральных чисел таково, что удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1. Для любого натурального числа n: n' 0.

Аксиома 2. Для любых натуральных чисел m и n: если m'=n', то m = n.

Аксиома 3. Пусть A является подмножеством множества w со следующими свойствами:

  1. 0 О A;
  2. для любого натурального числа n: если n О A, то n' О A.
Тогда A = w.

Эти аксиомы были введены Джузеппе Пеано в 1889 году.

Начальные задачи

Определения. 1 = 0', 2 = 1', 3 = 2', 4 = 3' .

В каждой из следующих задач получите данное утверждение из аксиом.

1.1 2 4.

1.2 n' n.

Решение. Рассмотрим множество A натуральных чисел n таких, что n' n. Наша цель – показать, что A = w, и мы сделаем это, используя аксиому 3. Сначала нам надо проверить, что 0 О A, то есть 0' 0. Это следует из аксиомы 1. Теперь возьмём любое натуральное число n и предположим, что n О A, то есть n' n. Нам надо вывести из этого предположения, что n'О A – это значит, что n'' n'. Предположим, что n''= n'. Тогда, по аксиоме 2, n'= n, а это противоречит тому, что n' n.

Это доказательство, разумеется, ``доказательство по индукции''. Условия 1 и 2 аксиомы 3 являются ``базисом'' и ``индуктивным шагом''. Аксиома 3, которая служит для построения доказательств подобных этому, называется аксиомой индукции.

1.3 Если n 0, то существует натуральное число m такое, что n = m'.

1.4 Такое число m единственно.

Сложение

Чтобы определить сумму двух натуральных чисел, нам надо доказать корректность хорошо известного рекурсивного определения сложения (уравнения (1) ниже), то есть существование и единственность функции, удовлетворяющей этим уравнениям. Эти факты сформулированы здесь как задачи 1.7 и 1.8.

1.5 Существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = 3,
f(n') = f (n)'.

1.6 Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = m,
f(n') = f(n)'.

1.7 Существует функция g из w ґ w в w такая, что

g(m, 0) = m,
g(m, n') = g(m, n).

1.8 Такая функция g единственна.

Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g(m, n) называется суммой m и n и обозначается m + n .

Так, для любых натуральных чисел m и n:
m + 0 = m,
m + n'= (m + n)'.
(1)

Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.

1.9 2 + 2 = 4.

1.10 n'= n + 1.

1.11 (k + m) + n = k + (m + n). *

1.12 0 + n = n.

1.13 m'+ n = m + n'.

1.14 m + n = n + m. *

1.15 Если k + m = k + n, то m = n. *

Порядок

Определение 2 (Порядок). Мы пишем m Ј n , если для некоторого k: n = m + k.

1.16 0 Ј n.

1.17 n Ј n. *

1.18 n Ј n'.

1.19 n Ј 0 тогда и только тогда, когда n = 0.

1.20 Если k Ј m и m Ј n, то k Ј n. *

1.21 Если m Ј n и n Ј m, то m = n. *

1.22 Если m Ј n и m n, то m'Ј n.

1.23 Для любых m и n: m Ј n или n Ј m. *

1.24 k + m Ј k + n тогда и только тогда, когда m Ј n.

Определение 3. Мы пишем m < n , если m Ј n и m n.

1.25 2 < 4.

1.26 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют по крайней мере одному из условий: m = n, m < n, n < m.

1.27 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют в точности одному из этих условий.

1.28 Для любых натуральных чисел m и n, следующие условия эквивалентны:

  1. m Ј n,
  2. m < n или m = n,
  3. m < n'.

Наименьший элемент

Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом, если для любого элемента m из A n Ј m.

1.29 Любое множество натуральных чисел имеет не более одного наименьшего элемента.

1.30 Для любого множества A натуральных чисел если 0 О A, то 0 является наименьшим элементом A.

1.31 Для любого множества A натуральных чисел если 1 О A, то A имеет наименьший элемент.

1.32 Любое непустое множество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент.

Умножение

1.33 Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = 0,
f(n + 1) = f(n) + m.

1.34 Существует функция g из w ґ w в w такая, что

g(m, 0) = 0,
g(m, n + 1) = g(m, n) + m.

1.35 Такая функция g единственна.

Определение 5 (Произведение). Для этой функции g число g(m, n) называется произведением m и n и обозначается m · n .

Так, для любых натуральных чисел m и n
m · 0 = 0,
m · (n + 1) = (m · n) + m.
(2)

1.36 2 · 2 = 4.

1.37 m · n = n · m.

1.38 m · n = 0 тогда и только тогда, когда m = 0 или n = 0.

Системы Пеано

Определение 6 (Система Пеано). Тройка <W, a, s> , где W – множество, a – элемент из W, а s – функция из W в W называется системой Пеано, если

Используя это определение, аксиомы 1–3 можно сформулировать кратко, сказав, что тройка <w, 0, s0>, где s0 обозначает функцию следования*, является системой Пеано.

1.39 Определите систему Пеано <W, a, s> такую, что W = w \ {0}.

1.40 Найдите изоморфизм между системой Пеано <w, 0, s0> и системой Пеано, построенной в решении задачи 1.39.

1.41 Для любой системы Пеано <W, a, s> существует изоморфизм между <w, 0, s0> и <W, a, s>.

Таким образом, любая система Пеано изоморфна системе натуральных чисел. В этом смысле аксиомы 1–3 дают полную характеризацию натуральных чисел*.

Логика в Excel   теория и практика обработки информации   Математическая логика   экономическая информатика

Знаете ли Вы, в чем ложность понятия "физический вакуум"?

Физический вакуум - понятие релятивистской квантовой физики, под ним там понимают низшее (основное) энергетическое состояние квантованного поля, обладающее нулевыми импульсом, моментом импульса и другими квантовыми числами. Физическим вакуумом релятивистские теоретики называют полностью лишённое вещества пространство, заполненное неизмеряемым, а значит, лишь воображаемым полем. Такое состояние по мнению релятивистов не является абсолютной пустотой, но пространством, заполненным некими фантомными (виртуальными) частицами. Релятивистская квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределённости Гейзенберга, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные, то есть кажущиеся (кому кажущиеся?), частицы: происходят так называемые нулевые колебания полей. Виртуальные частицы физического вакуума, а следовательно, он сам, по определению не имеют системы отсчета, так как в противном случае нарушался бы принцип относительности Эйнштейна, на котором основывается теория относительности (то есть стала бы возможной абсолютная система измерения с отсчетом от частиц физического вакуума, что в свою очередь однозначно опровергло бы принцип относительности, на котором постороена СТО). Таким образом, физический вакуум и его частицы не есть элементы физического мира, но лишь элементы теории относительности, которые существуют не в реальном мире, но лишь в релятивистских формулах, нарушая при этом принцип причинности (возникают и исчезают беспричинно), принцип объективности (виртуальные частицы можно считать в зависимсоти от желания теоретика либо существующими, либо не существующими), принцип фактической измеримости (не наблюдаемы, не имеют своей ИСО).

Когда тот или иной физик использует понятие "физический вакуум", он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование "моря" двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме - положительной и отрицательной, а также "моря" компенсирующих друг друга частиц - виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом - присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАФорум Рыцари теории эфира
Рыцари теории эфира
 03.07.2020 - 11:23: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от проф. В.Ю. Катасонова - Карим_Хайдаров.
03.07.2020 - 11:16: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> КОМПЬЮТЕРНО-СЕТЕВАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров.
03.07.2020 - 09:27: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров.
02.07.2020 - 16:28: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Пламена Паскова - Карим_Хайдаров.
02.07.2020 - 06:41: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вячеслава Осиевского - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:08: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:07: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 20:06: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Владимира Васильевича Квачкова - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 05:39: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров.
01.07.2020 - 04:20: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров.
30.06.2020 - 19:53: СОВЕСТЬ - Conscience -> РУССКИЙ МИР - Карим_Хайдаров.
29.06.2020 - 16:12: ТЕОРЕТИЗИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Theorizing and Mathematical Design -> ФУТУРОЛОГИЯ - прогнозы на будущее - Карим_Хайдаров.
Bourabai Research Institution home page

Bourabai Research - Технологии XXI века Bourabai Research Institution