Первой специальной
операцией реляционной алгебры является горизонтальный выбор, или
операция фильтрации, или операция ограничения отношений. Для определения этой
операции нам необходимо ввести дополнительные обозначения.
Пусть а —
Булево выражение, составленное из термов сравнения с помощью связок И (^),
ИЛИ (), НЕ (-) и, возможно, скобок.
В качестве термов сравнения допускаются:
а) терм А
ос а, где А — имя
некоторого атрибута, принимающего значения из домена D; а — константа, взятая
из того же домена D, a D; ос — одна
из допустимых для данного домена D операций сравнения;
б) терм А
ос В, где А, В —
имена некоторых Q-сравнимых атрибутов, то есть атрибутов, принимающих значения
из одного и то же домена D.
Тогда результатом
операции выбора, или фильтрации, заданной на отношении R в виде Булева выражения,
определенного на атрибутах отношения R, называется отношение R[G], включающее
те кортежи из исходного отношения, для которых истинно условие выбора или фильтрации:
R[G(r)] = {r
| r R ^ G(r) = "Истина"}
Операция
фильтрации является одной из основных при работе с реляционной моделью данных.
Условие а может быть сколь угодно сложным.
Например,
выбрать из R10 детали с шифром «0011003». R12
=R10[ Шифр детали = «0011003»]
R12 |
|
|
Шифр детали |
Название
детали |
Цех |
000 1 1003 |
Болт М 1 |
Цех 1 |
00011003 |
Болт М 1 |
Цех 3 |
Следующей
специальной операцией является операция проектирования. Пусть R — отношение,
SR = (А1, ... , Аn) — схема отношения R. Обозначим
через В подмножество [ Аi]; В { Аi }
При этом пусть В1 — множество атрибутов из { Ai }, не вошедших
в В. Если В = {A1j.A2j .....Akj}, В1
= {А1j,А2j,...,Аkj}и r = <а1j,
а2j,...,аkj >, аkj Аkji,
то r [В], s= < a1j, а2j, ... , аm,
> ; аm, Аmj
Проекцией
отношения R па набор атрибутов В, обозначаемой R[B], называется отношение со
схемой, соответствующей набору атрибутов В SR|B| = В,
содержащему кортежи, получаемые из кортежей исходного отношения R путем удаления
из них значений, не принадлежащих атрибутам из набора В.
R[B] = {r[В]}
По определению
отношений все дублирующие кортежи удаляются из результирующего отношения.
Операция
проектирования, называемая иногда также операцией вертикального выбора, позволяет
получить только требуемые характеристики моделируемого объекта. Чаще всего операция
проектирования употребляется как промежуточный шаг в операциях горизонтального
выбора, или фильтрации. Кроме того, она используется самостоятельно на заключительном
этапе получения ответа на запрос. Например, выберем все цеха, которые изготавливают
деталь «Болт Ml».
Для этого
нам необходимо из отношения R10 выбрать детали с заданным названием,
а потом полученное отношение спроектировать на столбец «Цех». Результатом
выполнения этих операций будет отношение R14:
R13 = R10 [ Название детали = «Болт Ml» ]
R14
= R13 [ Цех |
R13 |
||
Шифр детали детали |
Название |
Цех |
00011003 | Болт M1 | Цех 1 |
00011003 |
Болт M1l |
Цех3 |
R14 |
Цех |
Цех 1 |
Цех 3 |
Следующей
специальной операцией реляционной алгебры является операция условного соединения.
В отличие
от рассмотренных специальных операций реляционной алгебры: фильтрации и проектирования,
которые являются унарными, то есть производятся над одним отношением, операция
условного соединения является бинарной, то есть исходными для нее являются два отношения, а результатом — одно.
Пусть R = {r}, Q = { q } — исходные отношения,
SR,
SQ — схемы отношений R и Q соответственно.
SR
= (А1, А2, ... , Ak): SQ = (В1
В2, ... , Bm),
где А,, В,
— имена атрибутов в схемах отношений R и Q соответственно. При этом полагаем,
что заданы наборы атрибутов А и В
А {
Аi } ,j=1,k; В {
Bj } j=1,m, и эти наборы состоят из Q-сравнимых атрибутов.
Тогда соединением
отношений R и Q при условии р будет подмножество декартова произведения отношений
R и Q, кортежи которого удовлетворяют условию р, рассматриваемому как одновременное
выполнение условий:
R [ Р ] Q =
{ r.q) | (г. q) | r.A Qj q.Bj - «Истина»,
i=l,k}
Например,
рассмотрим следующий запрос. Пусть отношение R15 содержит перечень
деталей с указанием материалов, из которых эти детали изготавливаются, и оно
имеет вид:
R15 |
||
Шифр детали |
Название
детали |
Материал |
00011073 |
Гайка Ml |
сталь-ст1 |
00011075 |
Гайка М2 |
сталь-ст2 |
00011076 |
Гайка МЗ |
сталь-ст1 |
00011003 |
Болт М1 |
сталь-стЗ |
00011006 |
Болт МЗ |
сталь-стЗ |
00013063 |
Шайба Ml |
сталь-ст1 |
00013066 |
Шайба МЗ |
сталь-ст1 |
00011077 |
Гайка М4 |
сталь-ст2 |
00011004 |
Болт М2 |
сталь-стЗ |
00011005 |
Болт М5 |
сталь-стЗ |
00013062 |
Шайба М2 |
сталь-ст1 |
R16 |
Название детали |
Гайка M1 |
Гайка МЗ |
Шайба М1 |
Шайба МЗ |
Шайба М2 |
Получим перечень
деталей, которые изготавливаются в цеху 1 из материала «сталь-ст1»
R16
= (R15[(R15Шифр детали =R10.Шифр
детали) ^R10.Цех = «Цех1» ^ ^ R15.Материал
=«сталь-ст1»] R10)[Hазвание детали]
Последней
операцией, включаемой в набор операций реляционной алгебры, является
операция деления.
Для определения
операции деления рассмотрим сначала понятие множества образов.
Пусть R —
отношение со схемой SR = (A1, A2 ,..., Ak);
Пусть А —
некоторый набор атрибутов А { Аi
} i=l,k , А1 — набор атрибутов, не входящих в множество А.
Пересечение
множеств А и А1 пусто: А
А1 = 0; объединение множеств равно множеству всех атрибутов исходного
отношения: A А1 = SR.
Тогда множеством
образов элемента у проекции R[А] называется множество таких элементов у проекции
R[A1] , для которых сцепление (х, у) является кортежами отношения
R, то есть
QA(x) = {у
| у R[A1] ^ (х, у) R}
- множество образов.
Например,
множеством образов отношения R15 по материалу «сталъ-ст2»
будет множество кортежей
К15.Материал
= {< 00011075, Гайка М2, «сталь-ст2»>, < 00011077, Гайка
М4, «сталь-ст2»>}
Дадим теперь
определение
операции деления. Пусть даны два отношения R и Т соответственно
со схемами: SR = (А1, А2, ... , Ak);
ST =-(В1, В2, ... , Вm);
А и В — наборы
атрибутов этих отношений, одинаковой длины (без повторений);
А SR
; В ST. Атрибуты А1
— это атрибуты из R, не вошедшие в множество А.
Пересечение
множеств А А1 = —
пусто и A А1 = SR.
Проекции R[A] и Т[В]
совместимы по объединению, то есть имеют эквивалентные схемы: SR|A|~
ST[B|.
Тогда операция
деления ставит в соответствие отношениям R и Т отношение
Q = R[A:B]T,
кортежи которого являются теми элементами проекции R[A1], для которых
Т[В] входит в построенные для них множество образов:
R[A:B]T = {r
| r R[A1] ^ Т[В] (у
| у R [А] ^ (r, у)
R } }.
Операция
деления удобна тогда, когда требуется сравнить некоторое множество характеристик
отдельных атрибутов. Например, пусть у нас есть отношение R7, которое
содержит номенклатуру всех выпускаемых деталей на нашем предприятии, а в отношении
R10 хранятся сведения о том, что и в каких цехах действительно выпускается.
Поставим задачу определить перечень цехов, в которых выпускается вся номенклатура
деталей.
Тогда решением
этой задачи будет операция деления отношения R10 на отношение R7
по набору атрибутов (Шифр детали, Наименование детали).
R17
= R10[Шифр детали, Наименование детали: Шифр детали, Наименование
детали] R7
R 17 |
Цех |
Цех1 |
Операция
деления достаточно сложна для абстрактного представления. Она может быть заменена
последовательностью других операций. Действительно, выполним тот же запрос с
использованием других операций. Для этого определим последовательность промежуточных
запросов, которая приведет нас к конечному результату:
R9 = R7R8
R11 =R9\R10
R18 = R11[Цех]
R18 |
Цех |
Цех 2 |
ЦeхЗ |
Посмотрим, как работают
операции реляционной алгебры для другого примера. Возьмем набор отношений,
которые моделируют сдачу сессии студентами некоторого учебного заведения.
Тема весьма понятная и привычная.
R1 = <ФИО, Дисциплина, Оценка>;
R2 = <ФИО, Группа>;
R3
= < Группы, Дисциплина>,
где R1
— информация о попытках (как успешных, так и неуспешных) сдачи экзаменов студентами;
R2 — состав групп; R3 — список дисциплин, которые надо
сдавать каждой группе. Домены для атрибутов формально задавать не будем, но,
ориентируясь на здравый смысл, будем считать, что доменом для атрибута Дисциплина
будет множество всех дисциплин, преподающихся в ВУЗе, доменом для атрибута Группа
будет множество всех групп ВУЗа и т. д.
Покажем, каким образом
можно получить из этих таблиц интересующие нас
сведення
с помощью реляционной алгебры. В каждом из приведенных примеров путем операции
над исходными отношениями R1, R2, R3 формируются
промежуточные отношения и результирующее отношение S, содержащее требуемую информацию.
S = (R1|[Оценка
= 5 ^ Дисциплина = «БД»])[ФИО];
R4 =
(R2[R3Номер группы = R2.НомерГруппы ^ R3.Дисциплина
= «БД»] R3)[ФИО];
R5 = (R1
[Дисциплина = «БД»1)[ФИО];
и, наконец, результат — все, кто есть в первом множестве, но не во втором:
S = R4 \ R5;
Список несчастных, имеющих несколько двоек:
S = (R1[R1.ФИО = Rl.ФИО ^ R1Дисцинлина не равно R'1.Дисциплина ^
R1Оценка <= 2^ R'1.Оценка < 2] Rэ1,)[ФИО]
Этот пример весьма интересен: для поиска строк, удовлетворяющих в совокупности условию больше одною, применяется операция соединения отношения с самим собой. Поэтому мы как бы взяли копию отношения R1 и назвали ее R'1.
R4 = (R2[R2Группа
= R3Группa] R3)[ФИО, Дисциплина];
Строим список пар
<студент- дисциплина>, где получена оценка «отлично»:
R5 = (R1|[Оценкa = 5])[ФИО, Дисциплина];
Строим список студентов, что-либо не сдавших на отлично:
R6=(R4\R5)[ФИО].
Наконец, исключив последнее отношение из общего списка студентов, получаем результат:
R2[ФИО] \ R6
Обратите
внимание, что для получения множества студентов, что-либо не сдавших на «отлично»
(R6). мы осуществили «инверсию» множества всех отлично
сданных пар <студент—дисциплина> (R5) путем вычитания его из
предварительного построенного универсального множества (R4). Рекомендуем
очень внимательно разобрать этот пример и вникнуть в смысл каждого действия
— это очень пригодится для понимания реляционной алгебры.
Задание
1
Даны отношения,
моделирующие работу банка и его филиалов. Клиент может иметь несколько счетов,
при этом они могут быть размещены как в одном, так и в разных филиалах банка.
В отношении R1 содержится информация обо всех клиентах и их счетах
в филиалах нашего банка. Каждый клиент, в соответствии со своим счетом, может
рассчитывать на некоторый кредит от нашего банка, сумма допустимого кредита
также зафиксирована.
R, |
||||
ФИО клиента |
№ филиала |
№ счета |
Остаток |
Кредит |
|
|
|
R2 |
|
№ филиала |
Район |
|
|
С использованием
языка реляционной алгебры составить запросы, позволяющие выбрать:
Задание
2
Даны отношения,
моделирующие работу международной фирмы, имеющей несколько филиалов. Филиалы
фирмы могут быть расположены в разных странах, это отражено в отношении R1.
Клиенты фирмы также могут быть из разных стран, и это отражено в отношении R4.
По каждому конкретному заказу клиент мог заказать несколько разных товаров.
R1 |
|
Филиал |
Страна |
|
|
R2 |
||
Филиал |
Заказчик |
№ заказа |
|
|
|
R3 |
||
N заказа |
Товар |
Количество |
|
|
|
R4 |
|
Заказчик |
Страна |
|
|
С использованием
реляционной алгебры составить запросы, позволяющие выбрать:
1. Электромагнитная волна (в религиозной терминологии релятивизма - "свет") имеет строго постоянную скорость 300 тыс.км/с, абсурдно не отсчитываемую ни от чего. Реально ЭМ-волны имеют разную скорость в веществе (например, ~200 тыс км/с в стекле и ~3 млн. км/с в поверхностных слоях металлов, разную скорость в эфире (см. статью "Температура эфира и красные смещения"), разную скорость для разных частот (см. статью "О скорости ЭМ-волн")
2. В релятивизме "свет" есть мифическое явление само по себе, а не физическая волна, являющаяся волнением определенной физической среды. Релятивистский "свет" - это волнение ничего в ничем. У него нет среды-носителя колебаний.
3. В релятивизме возможны манипуляции со временем (замедление), поэтому там нарушаются основополагающие для любой науки принцип причинности и принцип строгой логичности. В релятивизме при скорости света время останавливается (поэтому в нем абсурдно говорить о частоте фотона). В релятивизме возможны такие насилия над разумом, как утверждение о взаимном превышении возраста близнецов, движущихся с субсветовой скоростью, и прочие издевательства над логикой, присущие любой религии.
4. В гравитационном релятивизме (ОТО) вопреки наблюдаемым фактам утверждается об угловом отклонении ЭМ-волн в пустом пространстве под действием гравитации. Однако астрономам известно, что свет от затменных двойных звезд не подвержен такому отклонению, а те "подтверждающие теорию Эйнштейна факты", которые якобы наблюдались А. Эддингтоном в 1919 году в отношении Солнца, являются фальсификацией. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.