Теоретико-множественные операции реляционной алгебры

Напомним, что

Всего Э. Ф. Коддом было предложено 8 операций для реляционной алгебры. В общем это множество избыточное, так как одни операции могут быть представлены через другие, однако множество операций выбрано из соображений максимального удобства при реализации произвольных запросов к БД. Все множество операций можно разделить на две группы: теоретико-множественные операции и специальные операции. В первую группу входят 4 операции. Три первые теоретико-множественные операции являются бинарными, то есть в них участвуют два отношения и они требуют эквивалентных схем исходных отношений.

Пусть заданы два отношения R₁ = { r₁ } , R₂ = { r₂ }. где r₁ и r₂ — соответственно кортежи отношений R₁ и R₂, то объединение

R₁ R₂ = { г | г R₁ r R₂ }. Здесь r — кортеж нового отношения, — операция логического сложения «ИЛИ».

Пример применения операции объединения приведен на рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R₁ и R₂, которые содержат перечни деталей. изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R₃ содержит общин перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

В отношении R₄ содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

Отношение R₅ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R_G содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R₆ = R₂ \ R₁ = { r | r R₂ ^ rR₁ }

Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R₅ и R₆.

В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R₁ R₂ и R₃. Все они имеют эквивалентные схемы.

• R₁= (ФИО, Паспорт, Школа);
  
• R₂= (ФИО, Паспорт, Школа);
  
• R₃= (ФИО, Паспорт, Школа).
  

Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R₁ содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение, R₂ содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R₃ содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

Ответим на следующие вопросы:

1. Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз. R = R₁ R₂ \ R₃
   
2. Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз. R = (R₁ \ R₂ R₃ ) (R₂ \ R₁ R₃)
   
3. Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.
   

   Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R₁ и R₂, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R₃, потому что они поступили. R = R₁ R₂ R₃
   

4. Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.
   

   Это прежде всего те абитуриенты; которые присутствуют в R₁ и не присутствуют в R₂, и те, кто присутствуют в R₂ и не присутствуют в R₁. И разумеется, никто из них не присутствует в R₃. R = (R₁ \ R₂) (R₂ \ R₁) \ R₃
   

В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R₃.

Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R₁ ® R₂, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

Сцеплением, пли конкатенацией, кортежей с = <c₁, с₂, ..., с_n> и q = <q₁, q₂, ..., q_m> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с , q).

(с, q) = <с₁ с₂, ... , с_n, q₁, q₂, .... q_m>

Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эквивалентности схем отношений. Операция декартова произведения меняет степень результирующего отношения.

Расширенным декартовым произведением отношения R, степени n со схемой

S_R1=(А₁,А₂...,А_n) и отношения R₂ степени m со схемой

S_R2=(В₁,В₂, ... , В_m) называется отношение R₃ степени n+m со схемой

S_R3 = (А₁, А₂, ... , А_n, В₁, В₂, ..., В_m),

содержащее кортежи, полученные сцеплением каждого кортежа г отношения R] с каждым кортежем q отношения R₂.

То есть если R₁ = { r }, R₂ = { q }

R₁ R₂ = {(r, q) | r R₁ ^ q R₂}

Операцию декартова произведения с учетом возможности перестановки атрибутов в отношении можно считать симметричной. Очень часто операция расширенного декартова произведения используется для получения некоторого универсума — т. е. отношения, которое характеризует все возможные комбинации между элементами отдельных множеств. Однако самостоятельного значения результат выполнения операции обычно не имеет, он участвует в дальнейшей обработке. Например, на производстве в отношении 07 задана обязательная номенклатура деталей для всех цехов, а в отношении 08 дан перечень всех цехов.

Тогда отношение R₉, которое соответствует ситуации, когда каждый цех изготавливает все требуемые детали, будет выглядеть следующим образом:

В каких запросах нужно использовать расширенное декартово произведение? Эта операция моделирует некоторую ситуацию, которая характеризуется словом «все». Поэтому если нам надо узнать, какие детали в каких цехах из общей обязательной номенклатуры не выпускаются, то мы можем вычесть из полученного отношения R₉ отношение R₁₀, характеризующее реальный выпуск деталей в каждом цехе.

Отношение R₁₁, которое является результатом выполнения этой операции, имеет вид:

R₁₁ ⁼ R₉ \ R₁₀

Группа теоретико-множественных операций избыточна, так, например, операцию можно заменить сочетанием операций объединения и пересечения.

(R₁ R₂) \ (R₁ \ R₂) \ (R₂ \ R₁)

Однако это достаточно сложная формула, и именно поэтому все три теоретико-множественные операции вошли в базовый набор операций реляционной алгебры.

Далее мы переходим к группе операций, названных специальными операциями реляционной алгебры.

НОВОСТИ ФОРУМА Рыцари теории эфира

10.11.2021 - 12:37: ПЕРСОНАЛИИ - Personalias -> WHO IS WHO - КТО ЕСТЬ КТО - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:36: СОВЕСТЬ - Conscience -> РАСЧЕЛОВЕЧИВАНИЕ ЧЕЛОВЕКА. КОМУ ЭТО НАДО? - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:36: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от д.м.н. Александра Алексеевича Редько - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:35: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> Биологическая безопасность населения - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> Проблема государственного терроризма - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:34: ВОЙНА, ПОЛИТИКА И НАУКА - War, Politics and Science -> ПРАВОСУДИЯ.НЕТ - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 12:34: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вадима Глогера, США - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:18: НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ - New Technologies -> Волновая генетика Петра Гаряева, 5G-контроль и управление - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:18: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ЭКОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:16: ЭКОЛОГИЯ - Ecology -> ПРОБЛЕМЫ МЕДИЦИНЫ - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:15: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Екатерины Коваленко - Карим_Хайдаров. 10.11.2021 - 09:13: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ - Upbringing, Inlightening, Education -> Просвещение от Вильгельма Варкентина - Карим_Хайдаров.